Question

13．在一般情況下，大橋上的車流速度v（單位：千米/時）是車流密度x（單位：輛/千米）的函數(shù)．當橋上的車流密度達到200輛/千米時，造成堵塞，此時車流速度為0；當0≤x≤20時，車流速度v為60千米/時．研究表明：當20≤x≤200時，車流速度v是車流密度x的一次函數(shù)．
（1）當0≤x≤200時，求函數(shù)v（x）的表達式；
（2）當車流密度x為多大時，車流量（單位時間內(nèi)通過橋上某觀測點的車輛數(shù)，單位：輛/時）f（x）=x•v（x）可以達到最大，并求出最大值．（精確到1輛/時）

Answer 1

分析 （1）根據(jù)題意，函數(shù)v（x）表達式為分段函數(shù)的形式，關鍵在于求函數(shù)v（x）在20≤x≤200時的表達式，根據(jù)一次函數(shù)表達式的形式，用待定系數(shù)法可求得；
（2）先在0≤x≤20上，車流量函數(shù)為增函數(shù)，得最大值為v（20）=1200，然后在20≤x≤200上，車流量函數(shù)為二次函數(shù)，然后根據(jù)二次函數(shù)的最大值問題解答．

解答 解：（1）由題意：當0≤x≤20時，v=60，
當20＜x≤200時，設v=kx+b，
根據(jù)題意得，$\left\{\begin{array}{l}{200k+b=0}\\{20k+b=60}\end{array}\right.$，
解得k=-$\frac{1}{3}$，b=$\frac{200}{3}$，
所以，函數(shù)解析式為v=-$\frac{1}{3}$x+$\frac{200}{3}$，
故車流速度v關于x的解析式為v=$\left\{\begin{array}{l}{60，0≤x≤20}\\{-\frac{1}{3}x+\frac{200}{3}，20＜x≤200}\end{array}\right.$；
（2）依題并由（1）可得車流量v（x）=60x（0≤x＜20），
v（x）=x（-$\frac{1}{3}$x+$\frac{200}{3}$）=-$\frac{1}{3}$（x-100）²+$\frac{10000}{3}$，（20≤x≤200），
當0≤x＜20時，v（x）為增函數(shù)，故當x=20時，其最大值為60×20=1200，
當20≤x≤200時，當x=100時，v（x）最大，最大值為=$\frac{10000}{3}$≈3333，
綜上所述，當x=100時，最大值約為3333．
答：（1）函數(shù)v關于x的解析式為v=$\left\{\begin{array}{l}{60，0≤x≤20}\\{-\frac{1}{3}x+\frac{200}{3}，20＜x≤200}\end{array}\right.$；
（2）x=100時，最大值約為3333．

點評 本題主要考查一次函數(shù)的應用、最值等基礎知識，同時考查運用數(shù)學知識解決實際問題的能力，屬于中等題．