Question

13．在一般情況下，大橋上的車流速度v（單位：千米/時(shí)）是車流密度x（單位：輛/千米）的函數(shù)．當(dāng)橋上的車流密度達(dá)到200輛/千米時(shí)，造成堵塞，此時(shí)車流速度為0；當(dāng)0≤x≤20時(shí)，車流速度v為60千米/時(shí)．研究表明：當(dāng)20≤x≤200時(shí)，車流速度v是車流密度x的一次函數(shù)．
（1）當(dāng)0≤x≤200時(shí)，求函數(shù)v（x）的表達(dá)式；
（2）當(dāng)車流密度x為多大時(shí)，車流量（單位時(shí)間內(nèi)通過(guò)橋上某觀測(cè)點(diǎn)的車輛數(shù)，單位：輛/時(shí)）f（x）=x•v（x）可以達(dá)到最大，并求出最大值．（精確到1輛/時(shí)）

Answer 1

分析 （1）根據(jù)題意，函數(shù)v（x）表達(dá)式為分段函數(shù)的形式，關(guān)鍵在于求函數(shù)v（x）在20≤x≤200時(shí)的表達(dá)式，根據(jù)一次函數(shù)表達(dá)式的形式，用待定系數(shù)法可求得；
（2）先在0≤x≤20上，車流量函數(shù)為增函數(shù)，得最大值為v（20）=1200，然后在20≤x≤200上，車流量函數(shù)為二次函數(shù)，然后根據(jù)二次函數(shù)的最大值問(wèn)題解答．

解答 解：（1）由題意：當(dāng)0≤x≤20時(shí)，v=60，
當(dāng)20＜x≤200時(shí)，設(shè)v=kx+b，
根據(jù)題意得，$\left\{\begin{array}{l}{200k+b=0}\\{20k+b=60}\end{array}\right.$，
解得k=-$\frac{1}{3}$，b=$\frac{200}{3}$，
所以，函數(shù)解析式為v=-$\frac{1}{3}$x+$\frac{200}{3}$，
故車流速度v關(guān)于x的解析式為v=$\left\{\begin{array}{l}{60，0≤x≤20}\\{-\frac{1}{3}x+\frac{200}{3}，20＜x≤200}\end{array}\right.$；
（2）依題并由（1）可得車流量v（x）=60x（0≤x＜20），
v（x）=x（-$\frac{1}{3}$x+$\frac{200}{3}$）=-$\frac{1}{3}$（x-100）²+$\frac{10000}{3}$，（20≤x≤200），
當(dāng)0≤x＜20時(shí)，v（x）為增函數(shù)，故當(dāng)x=20時(shí)，其最大值為60×20=1200，
當(dāng)20≤x≤200時(shí)，當(dāng)x=100時(shí)，v（x）最大，最大值為=$\frac{10000}{3}$≈3333，
綜上所述，當(dāng)x=100時(shí)，最大值約為3333．
答：（1）函數(shù)v關(guān)于x的解析式為v=$\left\{\begin{array}{l}{60，0≤x≤20}\\{-\frac{1}{3}x+\frac{200}{3}，20＜x≤200}\end{array}\right.$；
（2）x=100時(shí)，最大值約為3333．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查一次函數(shù)的應(yīng)用、最值等基礎(chǔ)知識(shí)，同時(shí)考查運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題的能力，屬于中等題．