Question

8．已知不等式|x-2|＞3的解集與關(guān)于x的不等式x²-ax-b＞0的解集相同．
（1）求實(shí)數(shù)a，b的值；
（2）求函數(shù)f（x）=a$\sqrt{x-3}$+b$\sqrt{44-x}$的最大值．

Answer 1

分析 （1）求出不等式|x-2|＞3的解集，即得不等式x²-ax+b＞0的解集，利用一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系求出 a和b的值，
（2）根據(jù)柯西不等式即可求出最大值．

解答 解：（1）不等式|x-2|＞3的解集為{x|x＜-1或x＞5}，所以不等式x²-ax-b＞0的解集為{x|x＜-1或x＞5}，
所以-1，5是方程x²-ax-b=0的兩根，所以$\left\{\begin{array}{l}{1+a-b=0}\\{25-5a-b=0}\end{array}\right.$，解得a=4，b=5．
（2）函數(shù)f（x）=a$\sqrt{x-3}$+b$\sqrt{44-x}$的定義域?yàn)閇3，44]，由柯西不等式得：
[f（x）]²=（4$\sqrt{x-3}$+5$\sqrt{44-x}$）²≤[（16+25）（x-3+44-x）]²，．
又因?yàn)閒（x）≥0，所以f（x）≤4，當(dāng)且僅當(dāng)5$\sqrt{x-3}$=4$\sqrt{44-x}$時(shí)等號(hào)成立，
即x=$\frac{779}{41}$時(shí)，f（x）=41．所以函數(shù)f（x）的最大值為41．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查絕對(duì)值不等式的解法，一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，以及柯西不等式，考查轉(zhuǎn)化能力，屬于中檔題．