Question

9．已知橢圓E：$\frac{{x}^{2}}{3}$+$\frac{{y}^{2}}{2}$=1的左右頂點分別為A、B，點P為橢圓上異于A，B的任意一點．
（Ⅰ）求直線PA與PB的斜率乘積的值；
（Ⅱ）設Q（t，0）（t≠$\sqrt{3}$），過點Q作與x軸不重合的任意直線交橢圓E于M，N兩點，則是否存在實數t，使得以MN為直徑的圓恒過點A？若存在，求出t的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由題意知$A（-\sqrt{3}，0），B（\sqrt{3}，0）$．設點P（x，y）（y≠0），從而可得${k_{PA}}•{k_{PB}}=\frac{y}{{x+\sqrt{3}}}•\frac{y}{{x-\sqrt{3}}}=\frac{y^2}{{{x^2}-3}}$，從而解得．
（Ⅱ）假設存在實數t，使得以MN為直徑的圓恒過點A；再設M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），直線MN的方程為x=ay+t，（a∈R），聯立化簡可得（2a²+3）y²+4aty+2t²-6=0，從而利用韋達定理可得y₁+y₂=-$\frac{4at}{2{a}^{2}+3}$，y₁y₂=$\frac{2{t}^{2}-6}{2{a}^{2}+3}$；化簡$\overrightarrow{AM}$•$\overrightarrow{AN}$=（x₁+$\sqrt{3}$，y₁）（x₂+$\sqrt{3}$，y₂）=a²y₁y₂+（$\sqrt{3}$+t）a（y₁+y₂）+（$\sqrt{3}$+t）²+y₁y₂，代入化簡可得5t²+6$\sqrt{3}$t+3=0，從而解得．

解答 解：（Ⅰ）$A（-\sqrt{3}，0），B（\sqrt{3}，0）$．設點P（x，y）（y≠0），
則有$\frac{x^2}{3}+\frac{y^2}{2}=1$，
即${y^2}=2（1-\frac{x^2}{3}）=\frac{2}{3}（3-{x^2}）$，
∴${k_{PA}}•{k_{PB}}=\frac{y}{{x+\sqrt{3}}}•\frac{y}{{x-\sqrt{3}}}=\frac{y^2}{{{x^2}-3}}$=$\frac{{\frac{2}{3}（3-{x^2}）}}{{{x^2}-3}}=-\frac{2}{3}$．
（Ⅱ）假設存在實數t，使得以MN為直徑的圓恒過點A；
設M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），
∵MN與x軸不重合，
∴設直線MN的方程為x=ay+t，（a∈R），
由$\left\{\begin{array}{l}{x=ay+t}\\{2{x}^{2}+3{y}^{2}-6=0}\end{array}\right.$化簡得，
（2a²+3）y²+4aty+2t²-6=0，
由題意可知△＞0成立，且y₁+y₂=-$\frac{4at}{2{a}^{2}+3}$，y₁y₂=$\frac{2{t}^{2}-6}{2{a}^{2}+3}$；
$\overrightarrow{AM}$•$\overrightarrow{AN}$=（x₁+$\sqrt{3}$，y₁）（x₂+$\sqrt{3}$，y₂）
=（ay₁+t+$\sqrt{3}$，y₁）（ay₂+t+$\sqrt{3}$，y₂）
=（ay₁+t+$\sqrt{3}$）（ay₂+t+$\sqrt{3}$）+y₁y₂
=a²y₁y₂+（$\sqrt{3}$+t）a（y₁+y₂）+（$\sqrt{3}$+t）²+y₁y₂
將y₁+y₂=-$\frac{4at}{2{a}^{2}+3}$，y₁y₂=$\frac{2{t}^{2}-6}{2{a}^{2}+3}$代入上式可得，
$\overrightarrow{AM}$•$\overrightarrow{AN}$=a²$\frac{2{t}^{2}-6}{2{a}^{2}+3}$-（$\sqrt{3}$+t）a$\frac{4at}{2{a}^{2}+3}$+（$\sqrt{3}$+t）²+$\frac{2{t}^{2}-6}{2{a}^{2}+3}$=0，
即$\frac{2{a}^{2}{t}^{2}-6{a}^{2}-4{a}^{2}t\sqrt{3}-4{a}^{2}{t}^{2}+（\sqrt{3}+t）^{2}（2{a}^{2}+3）+2{t}^{2}-6}{2{a}^{2}+3}$=0，
即a²（2t²-6-4t$\sqrt{3}$-4t²+2t²+4t$\sqrt{3}$+6）+2t²-6+3（$\sqrt{3}$+t）²=0，
即5t²+6$\sqrt{3}$t+3=0，
解得，t=-$\sqrt{3}$（舍去）或t=-$\frac{\sqrt{3}}{5}$．
故t=-$\frac{\sqrt{3}}{5}$．

點評 本題考查了橢圓與直線的位置關系的判斷與應用，同時考查了平面向量的應用，同時考查了學生的化簡運算的能力．