Question

4．已知$y=f（x）=2cos（2x-\frac{π}{6}）+\sqrt{3}$，求：
（1）單調(diào)增區(qū)間、對稱中心；
（2）當(dāng)$x∈（-\frac{π}{4}，\frac{π}{6}）$時，求f（x）值域；
（3）當(dāng)x∈[-π，π]時，解不等式y(tǒng)≥0．

Answer 1

分析 （1）由相位在余弦函數(shù)的增區(qū)間內(nèi)求解x的范圍得函數(shù)的增區(qū)間，再由相位的終邊落在y軸上求解x的取值集合得到函數(shù)的對稱中心；
（2）由x的范圍求得$2x-\frac{π}{6}$的范圍，進一步求得函數(shù)的值域；
（3）求解三角不等式，與x∈[-π，π]取交集得答案．

解答 解：（1）由$π+2kπ≤2x-\frac{π}{6}≤2π+2kπ$，解得$\frac{7π}{12}+kπ≤x≤\frac{13π}{12}+kπ$，
∴函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為$[\frac{7π}{12}+kπ，\frac{13π}{12}]，k∈Z$；
由$2x-\frac{π}{6}=kπ+\frac{π}{2}⇒x=\frac{kπ}{2}+\frac{π}{3}$，故對稱中心為$（\frac{kπ}{2}+\frac{π}{3}，\sqrt{3}），k∈Z$；
（2）∵$x∈（-\frac{π}{4}，\frac{π}{6}）$，∴$-\frac{2π}{3}＜2x-\frac{π}{6}＜\frac{π}{6}$，
當(dāng)$2x-\frac{π}{6}→-\frac{2π}{3}$時，${y_{min}}→f（-\frac{π}{4}）=-1+\sqrt{3}$，
當(dāng)$2x-\frac{π}{6}=0$時，${y_{max}}=f（\frac{π}{12}）=2+\sqrt{3}$，
故值域$y∈（\sqrt{3}-1，\sqrt{3}+2]$；
（3）原不等式$?cos（2x-\frac{π}{6}）≥-\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，
∴$-\frac{5π}{6}+2kπ≤2x-\frac{π}{6}≤\frac{5π}{6}+2kπ$，解得$-\frac{π}{3}+kπ≤x≤\frac{π}{2}+kπ，k∈Z$，
令$k=-1，-\frac{4π}{3}≤x≤-\frac{π}{2}$，令$k=0，-\frac{π}{3}≤x≤\frac{π}{2}$，令$k=1，\frac{2π}{3}≤x≤\frac{3π}{2}$，
又∵-π≤x≤π，
取交集得原不等式解集為$x∈[-π，-\frac{π}{2}]∪[-\frac{π}{3}，\frac{π}{2}]∪[\frac{2π}{3}，π]$．

點評 本題考查三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)，考查了復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性，復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性滿足同增異減的原則，是中檔題．