Question

10．（1）函數(shù)f（x）=log_a（2x-1）-1的圖象過定點（1，0）；
（2）已知函數(shù)f（x）是定義在R上的偶函數(shù)，當x≤0時，f（x）=x（x+1），則f（x）的解析式為f（x）=x²-|x|；
（3）若log_a$\frac{1}{2}$＞1，則a的取值范圍是（$\frac{1}{2}$，1）；
（4）若2^-x-2^y＞lnx-ln（-y）（x＞0，y＜0），則x+y＜0．
其中所有正確命題的序號是（2）（3）（4）．

Answer 1

分析 （1）由f（1）=-1，可得函數(shù)f（x）的圖象過定點（1，-1），即可判斷出正誤；
（2）令x＞0，則-x＜0，可得f（-x）=-x（-x+1），f（x）=-x（1-x）=x²-x．即可得出f（x）的解析式為f（x）=x²-|x|，即可判斷出正誤；
（3）若log_a$\frac{1}{2}$＞1=log_aa，可得$\left\{\begin{array}{l}{a＞1}\\{\frac{1}{2}＞a}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{0＜a＜1}\\{\frac{1}{2}＜a}\end{array}\right.$，解出即可得出；
（4）令f（x）=2^-x-lnx（x＞0），則函數(shù)f（x）在（0，+∞）單調(diào)遞減，即可判斷出．

解答 解：（1）∵f（1）=log_a（2-1）-1=-1，∴函數(shù)f（x）的圖象過定點（1，-1），因此不正確；
（2）已知函數(shù)f（x）是定義在R上的偶函數(shù)，當x≤0時，f（x）=x（x+1）=x²+x．令x＞0，則-x＜0，∴f（-x）=-x（-x+1），∴f（x）=-x（1-x）=x²-x．因此f（x）的解析式為f（x）=x²-|x|，故正確；
（3）若log_a$\frac{1}{2}$＞1=log_aa，∴$\left\{\begin{array}{l}{a＞1}\\{\frac{1}{2}＞a}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{0＜a＜1}\\{\frac{1}{2}＜a}\end{array}\right.$，解得$\frac{1}{2}＜a＜1$，因此a的取值范圍是（$\frac{1}{2}$，1），正確；
（4）令f（x）=2^-x-lnx（x＞0），則函數(shù)f（x）在（0，+∞）單調(diào)遞減，若f（x）＞f（-y）（y＜0），則x＜-y，即x+y＜0，因此正確．
其中所有正確命題的序號是（2）（3）（4）．
故答案為：（2）（3）（4）．

點評 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、簡易邏輯的判定方法，考查了分類討論、推理能力與計算能力，屬于中檔題．