Question

20．已知函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{kx+k（1-{a}^{2}），x≥0}\\{{x}^{2}+（{a}^{2}-4a）x+（3-a）^{2}，x＜0}\end{array}\right.$，其中a∈R．若對(duì)任意非零實(shí)數(shù)x，存在唯一實(shí)數(shù)x₂（x₁≠x₂），使得f（x₁）=f（x₂）成立，則實(shí)數(shù)k的最小值為8．

Answer 1

分析 由于函數(shù)f（x）是分段函數(shù)，且對(duì)任意的非零實(shí)數(shù)x₁，存在唯一的非零實(shí)數(shù)x₂（x₂≠x₁），使得f（x₂）=f（x₁）成立，得到x=0時(shí)，f（x）=k（1-a²），進(jìn)而得到，關(guān)于a的方程（3-a）²=k（1-a²）有實(shí)數(shù)解，即得△≥0，解出k即可．

解答 解：∵函數(shù)$f（x）=\left\{\begin{array}{l}kx+k（1-{a^2}）\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;（x≥0）\\{x^2}+（{a^2}-4a）x+{（3-a）^2}\;\;\;\;\;\;\;（x＜0）\end{array}\right.$，其中a∈R，
∴x=0時(shí)，f（x）=k（1-a²），
又由對(duì)任意的非零實(shí)數(shù)x₁，存在唯一的非零實(shí)數(shù)x₂（x₂≠x₁），使得f（x₂）=f（x₁）成立，
∴函數(shù)必須為連續(xù)函數(shù)，即在x=0附近的左右兩側(cè)函數(shù)值相等，
易知，k≤0時(shí)，結(jié)合圖象可知，不符合題意，
∴k＞0，且（3-a）²=k（1-a²），即（k+1）a²-6a+9-k=0有實(shí)數(shù)解，
所以△=6²-4（k+1）（9-k）≥0，解得k＜0或k≥8，
又∵k＞0，
∴k的取值范圍為[8，+∞），
故實(shí)數(shù)k的最小值為8，
故答案為：8

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查分段函數(shù)的應(yīng)用，結(jié)合一元二次函數(shù)的性質(zhì)是解決本題的關(guān)鍵．綜合性較強(qiáng)，難度較大．注意利用數(shù)形結(jié)合進(jìn)行求解．