Question

14．在奧運知識有獎問答比賽中，甲、乙、丙同時回答一道有關奧運知識的問題，已知甲回答正確的概率是$\frac{3}{4}$，甲、丙兩人都回答錯誤的概率是$\frac{1}{12}$，乙、丙兩人都回答正確的概率是$\frac{1}{4}$．
（1）求乙、丙兩人各自回答對這道題目的概率．
（2）求回答對這道題目的人數(shù)的隨機變量ξ的分布列和期望．

Answer 1

分析 （1）設乙、丙各自回答對的概率分別是p₁，p₂，由已知條件利用對立事件概率計算公式和相互獨立事件乘法概率公式能求出乙、丙兩人各自回答對這道題目的概率．
（2）由已知得ξ可能取值0，1，2，3，分別求出相應的概率，由此能求出ξ的分布列和數(shù)學期望．

解答 解：（1）設乙、丙各自回答對的概率分別是p₁，p₂，
根據題意，得$\left\{\begin{array}{l}{（1-\frac{3}{4}）•（1-{p}_{2}）=\frac{1}{12}}\\{{p}_{1}•{p}_{2}=\frac{1}{4}}\end{array}\right.$，
解得${p}_{1}=\frac{3}{8}$，p₂=$\frac{2}{3}$．…（5分）
（2）由已知得ξ可能取值0，1，2，3，
P（ξ=0）=$\frac{1}{4}×\frac{5}{8}×\frac{1}{3}=\frac{5}{96}$，
P（ ξ=1）=$\frac{3×5×1+1×3×1+1×5×2}{96}$=$\frac{28}{96}$=$\frac{7}{24}$，
P（ξ=2）=$\frac{3×3×1+3×5×2+1×3×2}{96}$=$\frac{45}{96}$=$\frac{15}{32}$，
P（ξ=3）=$\frac{3×3×2}{96}$=$\frac{18}{96}$=$\frac{3}{16}$．…（8分）
∴ξ的分布列如下：

ξ	0	1	2	3
P	$\frac{5}{96}$	$\frac{7}{24}$	$\frac{15}{32}$	$\frac{3}{16}$

…（10分）
期望為Eξ=$\frac{5}{96}×0+\frac{7}{24}×1+\frac{15}{32}×2+\frac{3}{16}×3$=$\frac{43}{24}$．…（12分）

點評 本題考查概率的求法，考查離散型隨機變量的分布列和數(shù)學期望的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意對立事件概率計算公式和相互獨立事件乘法概率公式的靈活運用．