Question

6．為選拔選手參加“中國漢字聽寫大會”，某中學舉行了一次“漢字聽寫大賽”活動．為了了解本次競賽學生的成績情況，從中抽取了部分學生的分數(shù)（得分取正整數(shù)，滿分為100分）作為樣本（樣本容量為n）進行統(tǒng)計．按照[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]的分組作出頻率分布直方圖，并作出樣本分數(shù)的莖葉圖（圖中僅列出了得分在[50，60），[90，100]的數(shù)據(jù)）．

（1）求樣本容量n和頻率分布直方圖中的x、y的值；
（2）在選取的樣本中，從競賽成績在80分以上（含80分）的學生中隨機抽取3名學生參加“中國漢字聽寫大會”，設隨機變量X表示所抽取的3名學生中得分在[80，90）內(nèi)的學生人數(shù)，求隨機變量X的分布列及數(shù)學期望．

Answer 1

分析 （1）由頻率公式和圖求出樣本容量n，由頻率分布直方圖中的數(shù)據(jù)求出x、y的值；
（2）先求出分數(shù)在[80，90）、[90，100]內(nèi)的學生人數(shù)，求出抽取的3名學生中得分在[80，90）的人數(shù)X的可能取值，由概率公式分別求出它們的概率并列出X的分布列，代入公式求出EX．

解答 解：（1）由題意可知，樣本容量n=$\frac{8}{0.016×10}$=50，y=$\frac{2}{50×10}$=0.004，
x=0.100-0.004-0.010-0.016-0.040=0.030．…（4分）
（2）由題意可知，分數(shù)在[80，90）內(nèi)的學生有5人，分數(shù)在[90，100]內(nèi)的學生有2人，共7人．
抽取的3名學生中得分在[80，90）的人數(shù)X的可能取值為1，2，3，則
P（X=1）=$\frac{{C}_{5}^{1}{C}_{2}^{2}}{{C}_{7}^{3}}$=$\frac{1}{7}$，P（X=2）=$\frac{{C}_{5}^{2}{C}_{2}^{1}}{{C}_{7}^{3}}$=$\frac{4}{7}$，P（X=3）=$\frac{{C}_{5}^{3}{C}_{2}^{0}}{{C}_{7}^{3}}$=$\frac{2}{7}$．
所以X的分布列為

X	1	2	3
P	$\frac{1}{7}$	$\frac{4}{7}$	$\frac{2}{7}$

…（10分）
所以EX=1×$\frac{1}{7}$+2×$\frac{4}{7}$+3×$\frac{2}{7}$=$\frac{15}{7}$．…（12分）

點評 本題考查莖葉圖、頻率分布直方圖，隨機變量X的分布列及數(shù)學期望，以及古典概型，比較綜合．