Question

7．如圖①，有一塊圓心角為90°，半徑為2的扇形鋼板，計(jì)劃將此鋼板切割成頂部為等腰梯形的形狀，最終變成圖②的形狀，OM⊥CD，垂足為M．

（1）設(shè)∠MOD=θ，以θ為自變量，將五邊形OADCB的面積S表示成θ的函數(shù)關(guān)系式；
（2）設(shè)t=cosθ-sinθ，
①求t的取值范圍；
②用僅含t的式子表示五邊形OADCB的面積S，并求出S的最大值及取得最大值時(shí)θ的值．

Answer 1

分析 （1）設(shè)∠MOD=θ，以θ為自變量，∠AOD=∠BOC=45°-θ，即可將五邊形OADCB的面積S表示成θ的函數(shù)關(guān)系式；
（2）設(shè)t=cosθ-sinθ，
①利用輔助角公式求t的取值范圍；
②用僅含t的式子表示五邊形OADCB的面積S，用配方法求出S的最大值及取得最大值時(shí)θ的值．

解答 解：（1）由題意，∠AOD=∠BOC=45°-θ，∴S=$\frac{1}{2}×2×2×$sin2θ+2×$\frac{1}{2}×2×2×$sin（45°-θ）=2sin2θ+4sin（45°-θ）（0°＜θ＜90°）；
（2）①t=cosθ-sinθ=$\sqrt{2}$sin（45°-θ），
∵0°＜θ＜90°，∴-45°＜45°-θ＜45°，∴-1＜t＜1；
②∵t=cosθ-sinθ，
∴sin2θ=1-t²，
∴S=2（1-t²）+2$\sqrt{2}$t=-2（t-$\frac{\sqrt{2}}{2}$）²+3，
∵-1＜t＜1，∴t=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，θ=15°S取得最大值3．

點(diǎn)評 本題考查利用數(shù)學(xué)知識解決實(shí)際問題，考查三角函數(shù)知識的運(yùn)用，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．