Question

9．利用單位圓如三角函數(shù)線．
（1）證明：sinα＜α＜tanα，其中0＜α＜$\frac{π}{2}$；
（2）已知0≤x≤2π，解不等式組$\left\{\begin{array}{l}{sinx＞cosx}\\{sinx＞tanx}\end{array}\right.$．

Answer 1

分析 （1）在單位圓中作出角α的正弦線，正切線，觀察可得結(jié)論．
（2）利用角的范圍，分別求解兩個(gè)不等式的范圍，然后求解交集即可．

解答 解：（1）證明：如圖所示，在單位圓中作出角α的正弦線$\overrightarrow{MP}$，正切線$\overrightarrow{AT}$，
觀察可得，AT＞$\widehat{AP}$＞PM，故有sinα＜α＜tanα，
故得證．
（2）由，0≤x≤2π，sinx＞cosx，
可得x∈（$\frac{π}{4}$，$\frac{5π}{4}$）．
又，sinx＞tanx，可得x∈（$\frac{π}{2}$，π）∪（$\frac{3π}{2}$，2π）．
∴不等式組$\left\{\begin{array}{l}{sinx＞cosx}\\{sinx＞tanx}\end{array}\right.$的解集為：{x|$\frac{π}{2}$＜x＜π}．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查三角函數(shù)線的定義，考查三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)的應(yīng)用，考查計(jì)算能力，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，屬于基礎(chǔ)題．