Question

9．設(shè)二次方程a_nx²-a_n+1x-2=0，（n∈N⁺）恒有兩個(gè)根α、β，滿(mǎn)足6α+αβ+6β=3．
（1）寫(xiě)出用a_n表達(dá)a_n+1的關(guān)系式；
（2）當(dāng)a₁=$\frac{7}{6}$時(shí)，求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（3）當(dāng)a₁=$\frac{7}{6}$時(shí)，求數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和S_n．

Answer 1

分析 （1）利用韋達(dá)定理及6α+αβ+6β=3，整理得a_n+1=$\frac{1}{2}$a_n+$\frac{1}{3}$；
（2）通過(guò)（1）整理可知a_n+1-$\frac{2}{3}$=$\frac{1}{2}$（a_n-$\frac{2}{3}$），進(jìn)而可知數(shù)列{a_n-$\frac{2}{3}$}是首項(xiàng)、公比均為$\frac{1}{2}$的等比數(shù)列，計(jì)算即得結(jié)論；
（3）通過(guò)（2）利用分組法求和計(jì)算即得結(jié)論．

解答 解：（1）依題意，α+β=$\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n}}$，αβ=-$\frac{2}{{a}_{n}}$，
又∵6α+αβ+6β=3，
∴6•$\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n}}$-$\frac{2}{{a}_{n}}$=3，
整理得：a_n+1=$\frac{2+3{a}_{n}}{6}$=$\frac{1}{2}$a_n+$\frac{1}{3}$；
（2）由（1）可知a_n+1-$\frac{2}{3}$=$\frac{1}{2}$（a_n-$\frac{2}{3}$），
又∵a₁=$\frac{7}{6}$，
∴a₁-$\frac{2}{3}$=$\frac{7}{6}$-$\frac{2}{3}$=$\frac{1}{2}$，
∴數(shù)列{a_n-$\frac{2}{3}$}是首項(xiàng)、公比均為$\frac{1}{2}$的等比數(shù)列，
∴a_n-$\frac{2}{3}$=$\frac{1}{{2}^{n}}$，
∴數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式a_n=$\frac{2}{3}$+$\frac{1}{{2}^{n}}$；
（3）由（2）可知S_n=$\frac{2}{3}$n+$\frac{\frac{1}{2}（1-\frac{1}{{2}^{n}}）}{1-\frac{1}{2}}$=$\frac{2}{3}$n+1-$\frac{1}{{2}^{n}}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查數(shù)列的通項(xiàng)及前n項(xiàng)和，考查運(yùn)算求解能力，對(duì)表達(dá)式的靈活變形是解決本題的關(guān)鍵，注意解題方法的積累，屬于中檔題．