Question

17．已知f（x）是定義在（-1，1）上的奇函數(shù)，且當(dāng)x∈（0，1）時(shí)，f（x）=$\frac{{2}^{x}}{{4}^{x}+1}$．
（1）求f（x）在（-1，1）上的解析式；
（2）證明f（x）在（0，1）上是減函數(shù)；
（3）當(dāng)m取何值時(shí)，f（x）=m在（-1，0）上有解．

Answer 1

分析 （1）由奇函數(shù)的定義，可得f（0）=0，當(dāng)-1＜x＜0時(shí)，則0＜-x＜1，由已知解析式，化簡(jiǎn)整理結(jié)合奇函數(shù)的定義即可得到所求；
（2）證明導(dǎo)數(shù)小于0即可；
（3）利用函數(shù)的性質(zhì)求函數(shù)f（x）的值域即可．

解答 （1）解：y=f（x）是（-1，1）上的奇函數(shù)，則f（0）=0，
當(dāng)-1＜x＜0時(shí)，則0＜-x＜1，則有f（-x）=$\frac{{2}^{-x}}{{4}^{-x}+1}$=$\frac{{2}^{x}}{{4}^{x}+1}$，
又f（-x）=-f（x），
則f（x）=-$\frac{{2}^{x}}{{4}^{x}+1}$，（-1＜x＜0），
則y=f（x）在（-1，1）上的解析式為f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{-\frac{{2}^{x}}{{4}^{x}+1}，-1＜x＜0}\\{0，x=0}\\{\frac{{2}^{x}}{{4}^{x}+1}，0＜x＜1}\end{array}\right.$；
（2）證明：當(dāng)x∈（0，1）時(shí)，f（x）=$\frac{{2}^{x}}{{4}^{x}+1}$，f′（x）=$\frac{{2}^{x}（1-{4}^{x}）ln2}{（{4}^{x}+1）^{2}}$＜0，
∴f（x）在（0，1）上是減函數(shù)；
（3）解：若x∈（-1，0），f（x）=-$\frac{{2}^{x}}{{4}^{x}+1}$=-$\frac{1}{{2}^{x}+\frac{1}{{2}^{x}}}$∈（-$\frac{1}{2}$，$\frac{2}{5}$）
∴m的取值范圍是（-$\frac{1}{2}$，$\frac{2}{5}$）．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查函數(shù)奇偶性和單調(diào)性的應(yīng)用和證明，要求熟練掌握函數(shù)性質(zhì)的綜合應(yīng)用．