Question

13．已知橢圓C的中心在原點，一個焦點和拋物線y²=8x的焦點重合，離心率等于$\frac{1}{2}$．
（1）求橢圓C的方程；
（2）設(shè)P（2，3），Q（2，-3）是橢圓上兩點，A，B是橢圓上位于直線PQ兩側(cè)的動點，若AB的斜率為$\frac{1}{2}$，求四邊形APBQ面積的最大值．

Answer 1

分析 （1）拋物線y²=8x的焦點（2，0）為橢圓的一個焦點，設(shè)橢圓的方程為$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（a＞b＞0）$．求出a、b，即可求解橢圓方程．
（2）設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），直線AB的方程為$y=\frac{1}{2}x+t$，代入$\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{12}=1$，利用由△＞0，以及韋達定理，通過弦長公式，求出三角形的面積．

解答 解：（1）拋物線y²=8x的焦點（2，0）為橢圓的一個焦點，
故設(shè)橢圓的方程為$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（a＞b＞0）$，------2
且c=2
由$e=\frac{c}{a}=\frac{1}{2}$，得a=4，∴b²=12------4
所以橢圓的方程為$\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{12}=1$------6
（2）設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），直線AB的方程為$y=\frac{1}{2}x+t$
代入$\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{12}=1$，得x²+tx+t²-12=0------8
由△＞0，得-4＜t＜4
由韋達定理得 x₁+x₂=-t${x_1}{x_2}={t^2}-12$------9
∴$|{x_1}-{x_2}|=\sqrt{{{（{x_1}+{x_2}）}^2}-4{x_1}{x_2}}=\sqrt{{t^2}-4（{t^2}-12）}=\sqrt{48-3{t^2}}$，
∴${S_{APBQ}}=\frac{1}{2}×6×|{x_1}-{x_2}|=3\sqrt{48-3{t^2}}$------11，
∴當(dāng)t=0時，∴${S_{APBQmax}}=12\sqrt{3}$------12

點評 本題考查橢圓的方程的求法，直線與橢圓的位置關(guān)系的應(yīng)用，考查計算能力．