Question

5．已知二次函數(shù)f（x）的二次項(xiàng)數(shù)為a，且不等式f（x）＞-x的解集為（1，2）．
（1）若函數(shù)y=f（x）+2a有且只有一個(gè)零點(diǎn)，求f（x）的解析式；
（2）若對(duì)?x∈[0，3]，都有f（x）≥-4，求a的取值范圍；
（3）解關(guān)于x的不等式f（x）≥0．

Answer 1

分析 （1）設(shè)二次函數(shù)f（x）=ax²+bx+c，由題意可得1，2為方程ax²+（b+1）x+c=0的解，運(yùn)用韋達(dá)定理，可得b=3a-1，c=2a，a＜0，再由零點(diǎn)的求法，即可得到a的值，進(jìn)而得到函數(shù)的解析式；
（2）由題意可得a≥$\frac{x-4}{{x}^{2}+3x+2}$在[0，3]的最大值，由g（x）=$\frac{x-4}{{x}^{2}+3x+2}$的導(dǎo)數(shù)，即可判斷單調(diào)性，求得最大值，進(jìn)而得到a的范圍；
（3）運(yùn)用判別式，判斷大于0恒成立，求得方程的兩根，判斷大小，運(yùn)用二次不等式的解法即可得到所求解集．

解答 解：（1）設(shè)二次函數(shù)f（x）=ax²+bx+c，
不等式f（x）＞-x的解集為（1，2），
即有1，2為方程ax²+（b+1）x+c=0的解，
即1+2=-$\frac{b+1}{a}$，1×2=$\frac{c}{a}$，
可得b=3a-1，c=2a，a＜0，
即有函數(shù)y=f（x）+2a=ax²+（3a-1）x+4a，
由函數(shù)y=f（x）+2a有且只有一個(gè)零點(diǎn)，
可得判別式為0，即（3a-1）²-16a²=0，
解得a=-1或$\frac{1}{7}$（舍去），
即有f（x）=-x²-4x-2；
（2）對(duì)?x∈[0，3]，都有f（x）≥-4，
即為ax²+（3a-1）x+2a+4≥0，
即有a≥$\frac{x-4}{{x}^{2}+3x+2}$在[0，3]的最大值，
由g（x）=$\frac{x-4}{{x}^{2}+3x+2}$的導(dǎo)數(shù)為g′（x）=$\frac{-{x}^{2}+8x+14}{（{x}^{2}+3x+2）^{2}}$，
由于-x²+8x+14＞0在[0，3]上恒成立，
即有g(shù)′（x）＞0，g（x）遞增，
可得g（3）取得最大值，且為-$\frac{1}{20}$，
則-$\frac{1}{20}$≤a＜0；
（3）f（x）≥0，即為ax²+（3a-1）x+2a≥0，（a＜0），
判別式△=（3a-1）²-8a²=a²-6a+1＞0恒成立，
由方程ax²+（3a-1）x+2a=0的兩根為x₁=$\frac{1-3a-\sqrt{{a}^{2}-6a+1}}{2a}$，
x₂=$\frac{1-3a+\sqrt{{a}^{2}-6a+1}}{2a}$，a＜0，
可得x₁＞x₂，
則不等式f（x）≥0的解集為[$\frac{1-3a+\sqrt{{a}^{2}-6a+1}}{2a}$，$\frac{1-3a-\sqrt{{a}^{2}-6a+1}}{2a}$]．

點(diǎn)評(píng) 本題考查二次函數(shù)和二次不等式及二次方程的關(guān)系，考查函數(shù)的零點(diǎn)的問(wèn)題的解法，同時(shí)考查不等式恒成立問(wèn)題的解法，注意運(yùn)用參數(shù)分離和單調(diào)性求得最值，考查含參不等式的解法，屬于中檔題．