Question

6．若以不等式log${\;}_{\frac{1}{2}}$（x²-x-2）＜log${\;}_{\frac{1}{2}}$（x-1）-1的解集為定義域，求函數(shù)y=4^x-2^x+1+5的值域．

Answer 1

分析 把不等式log${\;}_{\frac{1}{2}}$（x²-x-2）＜log${\;}_{\frac{1}{2}}$（x-1）-1化為等價(jià)的不等式組，求出解集，即得函數(shù)y的定義域，再求函數(shù)y的值域即可．

解答 解：不等式log${\;}_{\frac{1}{2}}$（x²-x-2）＜log${\;}_{\frac{1}{2}}$（x-1）-1可化為
log${\;}_{\frac{1}{2}}$（x²-x-2）＜log${\;}_{\frac{1}{2}}$2（x-1），
即$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}-x-2＞2（x-1）}\\{x-1＞0}\end{array}\right.$，
化簡(jiǎn)得$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}-3x＞0}\\{x＞1}\end{array}\right.$，
解得x＞3；
∴該不等式的解集為（3，+∞）；
又當(dāng)x∈（3，+∞）時(shí)，
函數(shù)y=4^x-2^x+1+5=2^2x-2•2^x+5=（2^x-1）²+4是單調(diào)增函數(shù)，
∴y＞2^2×3-2•2³+5=53；
∴函數(shù)y的值域?yàn)椋?3，+∞）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)的定義域和值域的應(yīng)用問(wèn)題，解題時(shí)要注意指數(shù)與對(duì)數(shù)的性質(zhì)的合理運(yùn)用，是基礎(chǔ)題目．