Question

14．已知拋物線(xiàn)x²=4py（p＞0）的焦點(diǎn)F，直線(xiàn)y=x+2與該拋物線(xiàn)交于A，B兩點(diǎn)，M是線(xiàn)段AB的中點(diǎn)，過(guò)M作x軸的垂線(xiàn)，垂足為N，若$\overrightarrow{AF}$•$\overrightarrow{BF}$+（$\overrightarrow{AF}$+$\overrightarrow{BF}$）•$\overrightarrow{FN}$=-1-5p²，則p的值為（　�。�

• A． $\frac{1}{4}$
• B． $\frac{1}{2}$
• C． 1
• D． 2

Answer 1

分析 設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），把y=x+2代入x²=4py得x²-4px-8p=0．利用韋達(dá)定理，結(jié)合向量的數(shù)量積公式，即可得出結(jié)論．

解答 解：設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），把y=x+2代入x²=4py得x²-4px-8p=0．
由韋達(dá)定理得x₁+x₂=4p，x₁x₂=-8p，所以M（2p，2p+2），所以N點(diǎn)（2p，0）．
同理y₁+y₂=4p+4，y₁y₂=4
∵$\overrightarrow{AF}$•$\overrightarrow{BF}$+（$\overrightarrow{AF}$+$\overrightarrow{BF}$）•$\overrightarrow{FN}$=-1-5p²，
∴（-x₁，p-y₁）•（-x₂，p-y₂）+（-x₁-x₂，2p-y₁-y₂）•（2p，-p）=-1-5p²，
代入整理可得4p²+4p-3=0，
∴p=$\frac{1}{2}$．
故選：B．

點(diǎn)評(píng) 本題考查直線(xiàn)與拋物線(xiàn)的位置關(guān)系，考查韋達(dá)定理的運(yùn)用，考查學(xué)生分析解決問(wèn)題的能力，屬于中檔題．