Question

10．定義：如果一個數(shù)列的任意連續(xù)三項均能構(gòu)成一個三角形的三邊長，那么稱此數(shù)列為“三角形”數(shù)列．已知數(shù)列{a_n}滿足a_n=nd（d＞0）．
（1）試判斷數(shù)列{a_n}是否是“三角形”數(shù)列，并說明理由；
（2）在數(shù)列{b_n}中，b₁=1，前n項和S_n滿足4S_n+1-3S_n=4．
1°證明數(shù)列{b_n}是“三角形”數(shù)列；
2°設(shè)d=1，數(shù)列{a_n•b_n}的前n項和為T_n，若不等式T_n+（$\frac{3}{4}$）n$\frac{a}{n}$-16＜0對任意的n∈N^*恒成立，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）由于a₁，a₂，a₃不能構(gòu)成三角形，故數(shù)列{a_n}不是“三角形”數(shù)列；
（2）由4S_n+1-3S_n=4知4（S_n+1-4）=3（S_n-4），又b₁=1，則S_n=$4-3×（\frac{3}{4}）^{n-1}$，所以b_n=S_n-S_n-1=$4-3×（\frac{3}{4}）^{n-1}-4+3×（\frac{3}{4}）^{n-2}$=$（\frac{3}{4}）^{n-1}$，又b₁=1，所以數(shù)列{b_n}是首項為1，公比為$\frac{3}{4}$的等比數(shù)列；
1°只需驗證對任意的自然數(shù)n，有b_n＜b_n+1+b_n+2成立即可；
2°數(shù)列{a_n•b_n}即為{$n×（\frac{3}{4}）^{n-1}$}，由錯位相減法計算可得T_n=$16[1-（\frac{3}{4}）^{n}]-4n（\frac{3}{4}）^{n}$，代入計算即可．

解答 （1）解：根據(jù)題意，得
由于a₁=d，a₂=2d，a₃=3d，
則a₁+a₂=a₃，
故a₁，a₂，a₃不能構(gòu)成三角形，
從而數(shù)列{a_n}不是“三角形”數(shù)列；
（2）由4S_n+1-3S_n=4知4（S_n+1-4）=3（S_n-4），
又b₁=1，則S_n=$4-3×（\frac{3}{4}）^{n-1}$，
所以b_n=S_n-S_n-1=$4-3×（\frac{3}{4}）^{n-1}-4+3×（\frac{3}{4}）^{n-2}$=$（\frac{3}{4}）^{n-1}$，
又b₁=1，所以數(shù)列{b_n}是首項為1，公比為$\frac{3}{4}$的等比數(shù)列；
1°證明：顯然等比數(shù)列{b_n}是一個遞減的正數(shù)數(shù)列，
故只要滿足對任意的自然數(shù)n，有b_n＜b_n+1+b_n+2成立即可，
∵$（\frac{3}{4}）^{n+1}+（\frac{3}{4}）^{n+2}$=$（\frac{3}{4}）^{n+1}（1+\frac{3}{4}）$=$\frac{21}{16}（\frac{3}{4}）^{n}$$＞（\frac{3}{4}）^{n}$，
∴數(shù)列{b_n}是“三角形”數(shù)列；
2°解：∵d=1，
∴數(shù)列{a_n•b_n}即為{$n×（\frac{3}{4}）^{n-1}$}，
則${T}_{n}=1+2×\frac{3}{4}+3×（\frac{3}{4}）^{2}+…+（n-1）（\frac{3}{4}）^{n-2}+n（\frac{3}{4}）^{n-1}$，
$\frac{3}{4}{T}_{n}=\frac{3}{4}+2（\frac{3}{4}）^{2}+…+（n-1）（\frac{3}{4}）^{n-1}+$$n（\frac{3}{4}）^{n}$，
兩式相減，得$\frac{1}{4}{T}_{n}=1+\frac{3}{4}+（\frac{3}{4}）^{2}+…+（\frac{3}{4}）^{n-1}-n（\frac{3}{4}）^{n}$
=$\frac{1×[1-（\frac{3}{4}）^{n}]}{1-\frac{3}{4}}-n（\frac{3}{4}）^{n}$
=$4[1-（\frac{3}{4}）^{n}]-n（\frac{3}{4}）^{n}$，
所以${T}_{n}=16[1-（\frac{3}{4}）^{n}]-4n（\frac{3}{4}）^{n}$，
又不等式T_n+（$\frac{3}{4}$）ⁿ$\frac{a}{n}$-16＜0對任意的n∈N^*恒成立，
將T_n=$16[1-（\frac{3}{4}）^{n}]-4n（\frac{3}{4}）^{n}$代入上式，
有$16[1-（\frac{3}{4}）^{n}]-4n（\frac{3}{4}）^{n}$$-16+\frac{a}{n}（\frac{3}{4}）^{n}$＜0，
整理得a＜4n（n+4），
即4n²+16n-a＞0對任意的n∈N^*恒成立，
故△=16²-4×4×（-a）＜0，
解得a＜-16．

點評 本題考查求數(shù)列通項公式及前n項和的計算，運用錯位相減法求前n項和是關(guān)鍵，屬中檔題，