Question

19．已知f（x）=x（x-a）．
（1）當(dāng)x∈[0，1]時，f（x）有最小值-3，求實數(shù)a的值；
（2）若函數(shù)g（x）=f（x）-lnx有零點，求a的最小值．

Answer 1

分析 （1）分情況討論f（x）在[0，1]上的單調(diào)性，令f_min（x）=-3，求出a的值；
（2）令g（x）=0解出a=x-$\frac{lnx}{x}$，求出右邊函數(shù)的最小值即可．

解答 解：（1）f（x）=x²-ax=（x-$\frac{a}{2}$）²-$\frac{{a}^{2}}{4}$．
∵當(dāng)x∈[0，1]時，f（x）有最小值-3，
∴①當(dāng)$\frac{a}{2}$≤0即a≤0時，f_min（x）=f（0）=0，不符合題意；
②當(dāng)0＜$\frac{a}{2}$≤1即0＜a≤2時，f_min（x）=f（$\frac{a}{2}$）=-$\frac{{a}^{2}}{4}$=-3，
∴a=2$\sqrt{3}$，不符合題意；
③當(dāng)$\frac{a}{2}$＞1即a＞2時，f_min（x）=f（1）=1-a=-3，
∴a=4．
綜上，a=4．
（2）g（x）=x²-ax-lnx，x＞0．
令g（x）=0，則a=x-$\frac{lnx}{x}$，
令h（x）=x-$\frac{lnx}{x}$，則h′（x）=1-$\frac{1-lnx}{{x}^{2}}$=$\frac{{x}^{2}-1+lnx}{{x}^{2}}$．
∴當(dāng)x=1時，h′（x）=0，
當(dāng)0＜x＜1時，h′（x）＜0，
當(dāng)x＞1時，h′（x）＞0，
∴h（x）在（0，1）上單調(diào)遞減，在[1，+∞）上單調(diào)遞增，
∴h_min（x）=h（1）=1．
∵函數(shù)g（x）=f（x）-lnx有零點，
∴a的最小值是1．

點評 本題考查了二次函數(shù)的單調(diào)性，函數(shù)的最小值，是中檔題．