Question

14．①：關(guān)于x的不等式x²+（a-1）x+a²＞0的解集是R；②：函數(shù)f（x）=x³+4ax-2在[1，+∞）上是增函數(shù)，已知“命題①或命題②”為真命題，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 根據(jù)不等式恒成立的等價(jià)條件已經(jīng)函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系，求出命題為真命題的等價(jià)條件進(jìn)行求解即可．

解答 解：若關(guān)于x的不等式x²+（a-1）x+a²＞0的解集是R，
則判別式△=（a-1）²-4a²＜0，
即3a²+2a-1＞0，得a＞$\frac{1}{3}$或a＜-1，
∵函數(shù)f（x）=x³+4ax-2在[1，+∞）上是增函數(shù)，
∴f′（x）=3x²-4a≥0，在[1，+∞）上恒成立，
則a≤$\frac{3}{4}$x²，
∵當(dāng)x≥1時(shí)，$\frac{3}{4}$x²≥$\frac{3}{4}$，
∴a≤$\frac{3}{4}$，
若“命題①或命題②”為真命題，
則“命題①，命題②”至少有一個(gè)為真命題，
則等價(jià)為兩個(gè)集合的并集，
則{a|a＞$\frac{1}{3}$或a＜-1}∪{a|a≤$\frac{3}{4}$}=（-∞，+∞），
即實(shí)數(shù)a的取值范圍是（-∞，+∞）．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查命題真假關(guān)系的應(yīng)用，求出命題的等價(jià)條件是解決本題的關(guān)鍵．