Question

7．已知各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，前n項(xiàng)的平方和為T_n，
（1）若T_n=$\frac{1}{3}$（4ⁿ-1），求S_n；
（2）設(shè)數(shù)列{na_n}的前n項(xiàng)和為R_n，且滿足2R_n=（2n+1）S_n-T_n，求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)．

Answer 1

分析 （1）各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)的平方和為T_n=$\frac{1}{3}$（4ⁿ-1），當(dāng)n≥2時(shí)，T_n-1=$\frac{1}{3}$（4^n-1-1），相減可得a_n，再利用等比數(shù)列的前n項(xiàng)合格是即可得出S_n．
（2）2R_n=（2n+1）S_n-T_n，當(dāng)n≥2時(shí)，2R_n-1=（2n-1）S_n-1-T_n-1，相減可得：${S}_{n}=\frac{{a}_{n}^{2}+{a}_{n}}{2}$．再利用遞推關(guān)系即可得出a_n．

解答 解：（1）∵各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)的平方和為T_n=$\frac{1}{3}$（4ⁿ-1），
∴當(dāng)n≥2時(shí)，T_n-1=$\frac{1}{3}$（4^n-1-1），相減可得：${a}_{n}^{2}$=$\frac{1}{3}（{4}^{n}-{4}^{n-1}）$=4^n-1；
當(dāng)n=1時(shí)，${a}_{1}^{2}$=$\frac{1}{3}×（4-1）$，解得a₁=1．
a_n＞0．
∴a_n=2^n-1．
∴S_n=$\frac{{2}^{n}-1}{2-1}$=2ⁿ-1．
（2）∵2R_n=（2n+1）S_n-T_n，
∴當(dāng)n≥2時(shí)，2R_n-1=（2n-1）S_n-1-T_n-1，
相減可得：2na_n=（2n-1）a_n+2S_n-${a}_{n}^{2}$，
化為${S}_{n}=\frac{{a}_{n}^{2}+{a}_{n}}{2}$．
當(dāng)n=1時(shí)，$2{a}_{1}=3{a}_{1}-{a}_{1}^{2}$，a₁＞0，解得a₁=1．
當(dāng)n≥2時(shí)，a_n=S_n-S_n-1=$\frac{{a}_{n}^{2}+{a}_{n}}{2}$-$\frac{{a}_{n-1}^{2}+{a}_{n-1}}{2}$，
化為：（a_n+a_n-1）（a_n-a_n-1-1）=0，
由于a_n+a_n-1＞0，
∴a_n-a_n-1=1，
∴數(shù)列{a_n}是等差數(shù)列，首項(xiàng)與公差都為1．
∴a_n=1+（n-1）=n．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了等差數(shù)列的通項(xiàng)公式、遞推關(guān)系的應(yīng)用、分類討論方法，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．