Question

2．設(shè)0＜α＜π，則函數(shù)y=sin²α（1-cosα）的最大值為$\frac{32}{27}$．

Answer 1

分析 令t=cosα∈（-1，1），可得y=t³-t²-t+1，利用導(dǎo)數(shù)y′的符號研究函數(shù)的單調(diào)性，由單調(diào)性求函數(shù)y的最大值．

解答 解：函數(shù)y=sin²α（1-cosα）=（1-cos²α）（1-cosα）=cos³α-cos²α-cosα+1．
由于0＜α＜π，可得-1＜cosα＜1．
令t=cosα∈（-1，1），則y=t³-t²-t+1，∴y′=3t²-2t-1=（3t+1）（t-1）．
令y′-0，求得t=-$\frac{1}{3}$，或t=1（舍去）．
由y′的符號可得，函數(shù)y在（-1，-$\frac{1}{3}$）上是增函數(shù)，在（-1，1）上是減函數(shù)，
故當(dāng)t=-$\frac{1}{3}$時，函數(shù)y取得最大值為-$\frac{1}{27}$-$\frac{1}{9}$+$\frac{1}{3}$+1=$\frac{32}{27}$，
故答案為：$\frac{32}{27}$．

點評 本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，由單調(diào)性求函數(shù)的最值，余弦函數(shù)的定義域和值域，屬于中檔題．