Question

14．已知橢圓$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（a＞b＞0）$的離心率為$e=\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，并且橢圓經(jīng)過點$（-1，\frac{{\sqrt{2}}}{2}）$，F(xiàn)為橢圓的左焦點．
（1）求橢圓的方程
（2）設過點F的直線交橢圓于A，B兩點，并且線段AB的中點在直線x+y=0上，求直線AB的直線方程．

Answer 1

分析 （1）運用離心率公式和a，b，c的關系，代入點的坐標，解方程可得a，b，進而得到橢圓的方程；
（2）設直線AB的方程為y=k（x+1），代入橢圓方程，運用韋達定理和中點坐標公式，求得中點的坐標，代入直線x+y=0，解方程可得k，進而得到所求直線方程．

解答 解：（1）e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，a²-b²=c²，
即有a=$\sqrt{2}$c=$\sqrt{2}$b，
又$\frac{1}{{a}^{2}}$+$\frac{1}{2^{2}}$=1，解得a=$\sqrt{2}$，b=1，
即有橢圓的方程為$\frac{{x}^{2}}{2}$+y²=1；
（2）F（-1，0），設直線AB的方程為y=k（x+1），
代入橢圓方程可得，（1+2k²）x²+4k²x+2k²-2=0，
即有x₁+x₂=-$\frac{4{k}^{2}}{1+2{k}^{2}}$，
則AB的中點坐標為（-$\frac{2{k}^{2}}{1+2{k}^{2}}$，$\frac{k}{1+2{k}^{2}}$），
由AB的中點在直線x+y=0上，可得-$\frac{2{k}^{2}}{1+2{k}^{2}}$+$\frac{k}{1+2{k}^{2}}$=0，
解得k=$\frac{1}{2}$或0，
則所求直線AB的方程為y=0或y=$\frac{1}{2}$x+$\frac{1}{2}$．

點評 本題考查橢圓的方程的求法，注意運用離心率公式和點滿足橢圓方程，考查直線方程的求法，注意運用直線方程代入橢圓方程，運用中點坐標公式，考查運算能力，屬于中檔題．