【題目】如圖,直三棱柱中,且,,分別為,的中點.
(1)證明:平面;
(2)若直線與平面所成的角的大小為,求銳二面角的正切值.
【答案】(1)詳見解析(2)
【解析】
(1)由已知條件可得是平行四邊形,從而,由已知條件能證明平面,由此能證明平面;(2)以為坐標(biāo)原點,,,分別為,,軸建立空間直角坐標(biāo)系,不妨設(shè),,求出面的一個法向量為,根據(jù)線面角可求出,在中求出,在即可求出結(jié)果.
(1)取中點,連接,則,從而,
連接,則為平行四邊形,從而.
∵直三棱柱中,平面,面,∴,
∵,是的中點,∴,
∵,∴面
故平面
(2)以為坐標(biāo)原點,,,分別為,,軸建立空間直角坐標(biāo)系,
由條件:不妨設(shè),,
,,,,,
,,
設(shè)平面的一個法向量為,
,可取為一個法向量
,
過作,連,則為二面角的平面角,
在中,,
在中,,,則
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【題目】設(shè)函數(shù),(為常數(shù)),.曲線在點處的切線與軸平行
(1)求的值;
(2)求的單調(diào)區(qū)間和最小值;
(3)若對任意恒成立,求實數(shù)的取值范圍.
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【題目】已知=(2asin2x,a),=(-1,2 sinxcosx+1),O為坐標(biāo)原點,a≠0,設(shè)f(x)=+b,b>a. (1)若a>0,寫出函數(shù)y=f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間;
(2)若函數(shù)y=f(x)的定義域為[ ,π],值域為[2,5],求實數(shù)a與b的值.
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【題目】某大型超市在2018年元旦舉辦了一次抽獎活動,抽獎箱里放有2個紅球,1個黃球和1個藍球(這些小球除顏色外大小形狀完全相同),從中隨機一次性取2個小球,每位顧客每次抽完獎后將球放回抽獎箱.活動另附說明如下:
①凡購物滿100(含100)元者,憑購物打印憑條可獲得一次抽獎機會;
②凡購物滿188(含188)元者,憑購物打印憑條可獲得兩次抽獎機會;
③若取得的2個小球都是紅球,則該顧客中得一等獎,獎金是一個10元的紅包;
④若取得的2個小球都不是紅球,則該顧客中得二等獎,獎金是一個5元的紅包;
⑤若取得的2個小球只有1個紅球,則該顧客中得三等獎,獎金是一個2元的紅包.
抽獎活動的組織者記錄了該超市前20位顧客的購物消費數(shù)據(jù)(單位:元),繪制得到如圖所示的莖葉圖.
(1)求這20位顧客中獲得抽獎機會的人數(shù)與抽獎總次數(shù)(假定每位獲得抽獎機會的顧客都會去抽獎);
(2)求這20位顧客中獎得抽獎機會的顧客的購物消費數(shù)據(jù)的中位數(shù)與平均數(shù)(結(jié)果精確到整數(shù)部分);
(3)分別求在一次抽獎中獲得紅包獎金10元,5元,2元的概率.
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【題目】設(shè)橢圓的右頂點為A,上頂點為B.已知橢圓的離心率為,.
(1)求橢圓的方程;
(2)設(shè)直線與橢圓交于,兩點,與直線交于點M,且點P,M均在第四象限.若的面積是面積的2倍,求的值.
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【題目】已知函數(shù),曲線在點處切線與直線垂直.
(1)試比較與的大小,并說明理由;
(2)若函數(shù)有兩個不同的零點,,證明:.
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【題目】某河流上的一座水力發(fā)電站,每年六月份的發(fā)電量(單位:萬千瓦時)與該河上游在六月份的降雨量(單位:毫米)有關(guān)據(jù)統(tǒng)計,當(dāng)時, ; 每增加10, 增加5.已知近20年的值為:140,110,160,70,200,160,140,160,220,200,110,160,160,200,140,110,160,220,140,160.
(1)完成如下的頻率分布表:近20年六月份降雨量頻率分布表
(2)假定今年六月份的降雨量與近20年六月份降雨量的分布規(guī)律相同,并將頻率視為概率,求今年六月份該水力發(fā)電站的發(fā)電量低于490(萬千瓦時)或超過530(萬千瓦時)的概率.
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【題目】已知函數(shù),其中a為實數(shù).
(1)當(dāng)a=-1時,求函數(shù)y=f(x)的零點;
(2)若f(x)在(-2,2)上為增函數(shù),求實數(shù)a的取值范圍;
(3)對于給定的實數(shù)a,若存在兩個不相等的實數(shù)根,,(<且≠0)使得f()=f(),求的取值范圍.
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