Question

19．已知在公差不為零的等差數(shù)列{a_n}中，a₅=3a₂-1，且a₁，a₂，a₄成等比數(shù)列．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）設(shè)b_n=3${\;}^{{a}_{2n}}$，求數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和S_n．

Answer 1

分析 （1）通過設(shè)等差數(shù)列{a_n}的公差為d（d≠0），利用$（{a}_{1}+d）^{2}$=a₁（a₁+3d）及a₅=3a₂-1計(jì)算可知首項(xiàng)和公差，進(jìn)而計(jì)算可得結(jié)論；
（2）通過a_n=n可知b_n=9ⁿ，進(jìn)而利用等比數(shù)列的求和公式計(jì)算即得結(jié)論．

解答 解：（1）設(shè)等差數(shù)列{a_n}的公差為d（d≠0），
∵a₁，a₂，a₄成等比數(shù)列，
∴$（{a}_{1}+d）^{2}$=a₁（a₁+3d），
解得：d=a₁，
又∵a₅=3a₂-1，
∴5d=6d-1，即d=1，
∴數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式a_n=n；
（2）∵a_n=n，
∴b_n=3${\;}^{{a}_{2n}}$=9ⁿ，
∴S_n=$\frac{9（1-{9}^{n}）}{1-9}$=$\frac{{9}^{n+1}-9}{8}$．

點(diǎn)評 本題考查數(shù)列的通項(xiàng)及前n項(xiàng)和，考查運(yùn)算求解能力，注意解題方法的積累，屬于中檔題．