Question

16．給出下列命題：
①設拋物線y²=8x的準線與x軸交于點Q，若過點Q的直線l與拋物線有公共點，則直線l的斜率的取值范圍為[-1，1]；
②A，B是拋物y²=2px（p＞0）上的兩點，且OA⊥OB，則A、B兩點的橫坐標之積$\frac{p^2}{4}$；
③斜率為1的直線l與橢圓$\frac{x^2}{4}+{y^2}=1$相交于A、B兩點，則|AB|的最大值為$\frac{{4\sqrt{10}}}{5}$．
把你認為正確的命題的序號填在橫線上①③．

Answer 1

分析 求出滿足條件的斜率的范圍，可判斷①；根據(jù)向量垂直的充要條件，求出A、B兩點的橫坐標之積，可判斷②；求出|AB|的最大值，可判斷③．

解答 解：∵Q點為拋物線y²=8x的準線與x軸的交點，
∴Q點坐標為（-2，0）
∴設過Q（-2，0）的直線方程為y=k（x+2），即x=$\frac{y}{k}$-2
代入線y²=8x，化簡得，y²-$\frac{8y}{k}$+16=0
若過點Q的直線l與拋物線有公共點，則△≥0，
即$\frac{64}{{k}^{2}}$-64≥0，解得：k∈[-1，1]，故①正確；
設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
則y₁²=2px₁，y₂²=2px²，
∵OA⊥OB，∴x₁x₂+y₁y₂=0，x₁x₂=-y₁y₂，
則y₁²•y₂²=4p²•x₁•x₂=-4p²•y₁•y₂，
∴y₁•y₂=-4p²，從而x₁•x₂=4p²；故②錯誤；
斜率為1的直線l與橢圓$\frac{x^2}{4}+{y^2}=1$相交于A、B兩點，則AB過原點時，|AB|的最大值，
此時y=x，聯(lián)立橢圓方程可得交點坐標為：（$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，$\frac{2\sqrt{5}}{5}$）和：（-$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，-$\frac{2\sqrt{5}}{5}$），
則|AB|=$\frac{{4\sqrt{10}}}{5}$．故③正確；
故答案為：①③

點評 本題以命題的真假判斷與應用為載體，考查了拋物線，橢圓的簡單性質(zhì)，向量垂直的充要條件，弦長公式等知識點是，難度中檔．