Question

14．如圖，矩形CDEF所在的平面與矩形ABCD所在的平面垂直，AD=2$\sqrt{2}$，DE=2，AB=4，點M，N分別為線段EF，AB上的動點，點P為MN的中點，則PA+PC的最小值為2$\sqrt{7}$．

Answer 1

分析 作PO⊥平面ABCD，過O點作GH∥AD，交AB于G，交CD于H，過O點作JI∥AB，交AD于J，交BC于I，推導(dǎo)出PC²=PO²+IO²+HO²=3+IO²，設(shè)JO=x，則IO=4-x，得到PA+PC=$\sqrt{{x}^{2}+3}+\sqrt{（4-{x）}^{2}+3}$，構(gòu)造函數(shù)f（x）=$\sqrt{{x}^{2}+3}+\sqrt{（4-{x）}^{2}+3}$，利用導(dǎo)數(shù)秘技能求出PA+PC的最小值．

解答 解：作PO⊥平面ABCD，過O點作GH∥AD，交AB于G，交CD于H，過O點作JI∥AB，交AD于J，交BC于I，
∵P是EF中點，∴PO=$\frac{1}{2}ED$=1，
∴PA²=PO²+JO²+GO²=3+JO²，
PC²=PO²+IO²+HO²=3+IO²，
設(shè)JO=x，則IO=4-x，
∴PA+PC=$\sqrt{{x}^{2}+3}+\sqrt{（4-{x）}^{2}+3}$，
設(shè)f（x）=$\sqrt{{x}^{2}+3}+\sqrt{（4-{x）}^{2}+3}$，則${f}^{'}（x）=\frac{x}{\sqrt{{x}^{2}+3}}+\frac{x-4}{\sqrt{（x-4）^{2}+3}}$，
當x=2時，f′（x）=0，且f（x）取最小值f（2）=2$\sqrt{7}$．
∴PA+PC的最小值為2$\sqrt{7}$．
故答案為：2$\sqrt{7}$．

點評 本題考查兩線段和的最小值的求法，難度大、綜合性強，解題時要認真審題，合理構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)性質(zhì)求解．