【題目】已知函數(shù)(是自然對數(shù)的底數(shù)).
(Ⅰ)討論極值點(diǎn)的個數(shù);
(Ⅱ)若是的一個極值點(diǎn),且,證明:.
【答案】(Ⅰ)見解析;(Ⅱ)見解析
【解析】
(I)求得函數(shù)的導(dǎo)函數(shù),對分成四種情況進(jìn)行分類討論,根據(jù)的單調(diào)區(qū)間,判斷出極值點(diǎn)的個數(shù).
(II)首先結(jié)合(I)以及判斷出,且,由此求得的表達(dá)式,利用這個表達(dá)的導(dǎo)數(shù)求得最大值為,由此證得.
(Ⅰ)的定義域?yàn)?/span>,,
①若,則,
所以當(dāng)時,;當(dāng)時,,
所以在上遞減,在遞增.
所以為唯一的極小值點(diǎn),無極大值,
故此時有一個極值點(diǎn).
②若,令,
則,,
當(dāng)時,,
則當(dāng)時,;當(dāng)時,;
當(dāng)時,.
所以-2,分別為的極大值點(diǎn)和極小值點(diǎn),
故此時有2個極值點(diǎn).
當(dāng)時,,
且不恒為0,
此時在上單調(diào)遞增,
無極值點(diǎn)
當(dāng)時,,
則當(dāng)時,;當(dāng)時,
;當(dāng)時,.
所以,-2分別為的極大值點(diǎn)和極小值點(diǎn),
故此時有2個極值點(diǎn).
綜上,當(dāng)時,無極值點(diǎn);
當(dāng)時,有1個極值點(diǎn);
當(dāng)或時,有2個極值點(diǎn).
(Ⅱ)證明:若是的一個極值點(diǎn),
由(Ⅰ)可知,
又,所以,
且,則,
所以.
令,則,
所以,
故
又因?yàn)?/span>,所以,令,得.
當(dāng)時,,單調(diào)遞增,
當(dāng)時,,單調(diào)遞減,
所以是唯一的極大值點(diǎn),也是最大值點(diǎn),
即,
故,即.
年級 | 高中課程 | 年級 | 初中課程 |
高一 | 高一免費(fèi)課程推薦! | 初一 | 初一免費(fèi)課程推薦! |
高二 | 高二免費(fèi)課程推薦! | 初二 | 初二免費(fèi)課程推薦! |
高三 | 高三免費(fèi)課程推薦! | 初三 | 初三免費(fèi)課程推薦! |
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù).
(1)若,求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;
(2)若恒成立,求實(shí)數(shù)的取值范圍.
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知拋物線和圓,傾斜角為45°的直線過拋物線的焦點(diǎn),且與圓相切.
(1)求的值;
(2)動點(diǎn)在拋物線的準(zhǔn)線上,動點(diǎn)在上,若在點(diǎn)處的切線交軸于點(diǎn),設(shè).求證點(diǎn)在定直線上,并求該定直線的方程.
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】移動支付(支付寶及微信支付)已經(jīng)漸漸成為人們購物消費(fèi)的一種支付方式,為調(diào)查市民使用移動支付的年齡結(jié)構(gòu),隨機(jī)對100位市民做問卷調(diào)查得到列聯(lián)表如下:
(1)將上列聯(lián)表補(bǔ)充完整,并請說明在犯錯誤的概率不超過0.10的前提下,認(rèn)為支付方式與年齡是否有關(guān)?
(2)在使用移動支付的人群中采用分層抽樣的方式抽取10人做進(jìn)一步的問卷調(diào)查,從這10人隨機(jī)中選出3人頒發(fā)參與獎勵,設(shè)年齡都低于35歲(含35歲)的人數(shù)為,求的分布列及期望.
(參考公式:(其中)
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)(是自然對數(shù)的底數(shù)).
(Ⅰ)討論極值點(diǎn)的個數(shù);
(Ⅱ)若是的一個極值點(diǎn),且,證明:.
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知橢圓的離心率為,短軸長為.
(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)若橢圓的左焦點(diǎn)為,過點(diǎn)的直線與橢圓交于兩點(diǎn),則在軸上是否存在一個定點(diǎn)使得直線的斜率互為相反數(shù)?若存在,求出定點(diǎn)的坐標(biāo);若不存在,也請說明理由.
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知橢圓上一點(diǎn)與橢圓右焦點(diǎn)的連線垂直于軸,過橢圓上一點(diǎn)的直線與橢圓交于兩點(diǎn)(均不在坐標(biāo)軸上),設(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn),過的射線與橢圓交于點(diǎn).
(1)若,求實(shí)數(shù)的值;
(2)當(dāng)為時,若四邊形的面積為12,試求直線的方程.
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知橢圓:的離心率,且圓過橢圓的上,下頂點(diǎn).
(1)求橢圓的方程.
(2)若直線的斜率為,且直線交橢圓于、兩點(diǎn),點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)的對稱點(diǎn)為,點(diǎn)是橢圓上一點(diǎn),判斷直線與的斜率之和是否為定值,如果是,請求出此定值:如果不是,請說明理.
查看答案和解析>>
湖北省互聯(lián)網(wǎng)違法和不良信息舉報平臺 | 網(wǎng)上有害信息舉報專區(qū) | 電信詐騙舉報專區(qū) | 涉歷史虛無主義有害信息舉報專區(qū) | 涉企侵權(quán)舉報專區(qū)
違法和不良信息舉報電話:027-86699610 舉報郵箱:58377363@163.com