Question

15．當直線（sin²α）x+（2cos²α）y-1=0（0＜α＜$\frac{π}{2}$）與兩坐標軸圍成的三角形面積最小時，α等于（　　）

• A． 正切值為$\frac{\sqrt{2}}{2}$的一個銳角
• B． $\frac{π}{6}$
• C． $\frac{π}{4}$
• D． $\frac{π}{3}$

Answer 1

分析 根據(jù)直線方程分別令x=0、y=0求出對應的y和x，由三角形的面積公式寫出表達式，由二倍角的正弦公式化簡，根據(jù)α的范圍和正弦函數(shù)的最值，求出三角形面積最小時α的值．

解答 解：由題意得，（sin²α）x+（2cos²α）y-1=0（0＜α＜$\frac{π}{2}$），
令x=0得，y=$\frac{1}{2co{s}^{2}α}$；令y=0得，x=$\frac{1}{si{n}^{2}α}$，
∴直線與兩坐標軸圍成的三角形面積S=$\frac{1}{2}×\frac{1}{2co{s}^{2}α}×\frac{1}{si{n}^{2}α}$=$\frac{1}{si{n}^{2}（2α）}$，
∵0＜α＜$\frac{π}{2}$，∴0＜2α＜π，則sin2α的最大值是1，
此時2α=$\frac{π}{2}$，即 $α=\frac{π}{4}$，三角形的面積S=$\frac{1}{si{n}^{2}（2α）}$取到最小值是1，
故選C．

點評 本題考查了由直線一般式方程求出在x、y軸上的截距，二倍角的正弦公式、正弦函數(shù)的最值問題，考查化簡、變形能力，屬于中檔題．