Question

9．求f（x）=a•2^x-4^x（a∈R）在[0，1]上的最大值．

Answer 1

分析 設(shè)2^x=t（1≤t≤2），即有g(shù)（t）=at-t²，求出對(duì)稱(chēng)軸方程，討論區(qū)間[1，2]和對(duì)稱(chēng)軸的關(guān)系，運(yùn)用單調(diào)性可得最大值．

解答 解：設(shè)2^x=t（1≤t≤2），
即有g(shù)（t）=at-t²，
對(duì)稱(chēng)軸為t=$\frac{a}{2}$，
當(dāng)$\frac{a}{2}$≥2時(shí)，即a≥4，區(qū)間[1，2]遞增，
可得t=2即x=1時(shí)，取得最大值2a-4；
當(dāng)1＜$\frac{a}{2}$＜2時(shí)，即2＜a＜4時(shí)，t=$\frac{a}{2}$時(shí)，即x=log₂$\frac{a}{2}$，取得最大值$\frac{{a}^{2}}{4}$；
當(dāng)$\frac{a}{2}$≤1時(shí)，即a≤2，區(qū)間[1，2]遞減，
可得t=1即x=0時(shí)，取得最大值a-1．
綜上可得，a≤2時(shí)，f（x）的最大值為a-1；
2＜a＜4時(shí)，f（x）的最大值為$\frac{{a}^{2}}{4}$；
a≥4時(shí)，f（x）的最大值為2a-4．

點(diǎn)評(píng) 本題考查可化為二次函數(shù)的最值的求法，注意討論對(duì)稱(chēng)軸和區(qū)間的關(guān)系，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．