Question

9．已知雙曲線$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$，左、右焦點(diǎn)分別為F₁、F₂．
（1）若曲線C₁：y²=2px（p＞0）的焦點(diǎn)恰是雙曲線的右焦點(diǎn)，且交點(diǎn)連線過點(diǎn)F₂，則求雙曲線離心率．
（2）過雙曲線右焦點(diǎn)F₂且傾斜角為60°的線段F₂M與y軸交于M，與雙曲線交于N，已知$\overrightarrow{M{F_2}}=4\overrightarrow{N{F_2}}$，則求該雙曲線的離心率；
（3）若過右焦點(diǎn)F且傾斜角為30°的直線與雙曲線的右支有兩個交點(diǎn)，則求此雙曲線離心率的取值范圍；
（4）若離心率$e∈[\sqrt{2}，2]$，令雙曲線的兩條漸近線構(gòu)成的角中，以實(shí)軸為平分線的角為θ，則求θ的取值范圍；
（5）若存在兩條直線x=±m(xù)與雙曲線相交于A，B，C，D，且四邊形ABCD為正方形，則求雙曲線離心率的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）先根據(jù)拋物線方程得到焦點(diǎn)坐標(biāo)和交點(diǎn)坐標(biāo)，代入雙曲線，把$\frac{p}{2}$=c代入整理得 c⁴-6a²c²+a⁴=0等式兩邊同除以a⁴，得到關(guān)于離心率e的方程，進(jìn)而可求得e．
（2）先求出M的坐標(biāo)，由$\overrightarrow{M{F_2}}=4\overrightarrow{N{F_2}}$，求得N的坐標(biāo)，把N的坐標(biāo)代入雙曲線方程化簡求得離心率 e 的大�。�
（3）要使直線與雙曲線有兩個交點(diǎn)，需使雙曲線的其中一漸近線方程的斜率小于直線的斜率，即$\frac{a}$＜tan30°=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，求得a和b的不等式關(guān)系，進(jìn)而轉(zhuǎn)化成a和c的不等式關(guān)系，求得離心率的一個范圍，最后根據(jù)雙曲線的離心率大于1，綜合可得求得e的范圍．
（4）利用離心率的范圍進(jìn)而求得a和c不等式關(guān)系，進(jìn)而利用a，b和c的關(guān)系求得a和b的不等式關(guān)系，進(jìn)而求得漸近線斜率k的范圍，利用k=tan$\frac{θ}{2}$確定tan$\frac{θ}{2}$的范圍，進(jìn)而確定θ的范圍．

解答 解：（1）由題意，∵兩條曲線交點(diǎn)的連線過點(diǎn)F
∴兩條曲線交點(diǎn)為（$\frac{p}{2}$，p），
代入雙曲線方程得$\frac{\frac{{p}^{2}}{4}}{{a}^{2}}-\frac{{p}^{2}}{^{2}}$=1，
又$\frac{p}{2}$=c
代入化簡得 c⁴-6a²c²+a⁴=0
∴e⁴-6e²+1=0
∴e²=3+2$\sqrt{2}$=（1+$\sqrt{2}$）²
∴e=$\sqrt{2}$+1；
（2）線段F₂M所在直線的斜率為 tan60°=$\sqrt{3}$，方程為y-0=$\sqrt{3}$（x-c），
∴M（0，-$\sqrt{3}$c）．   
設(shè)N （m，n ），則
∵$\overrightarrow{M{F_2}}=4\overrightarrow{N{F_2}}$，
∴（c，$\sqrt{3}$c）=4（c-m，-n），
∴c=4c-4m，$\sqrt{3}$c=-4n，∴m=$\frac{3c}{4}$，n=-$\frac{\sqrt{3}}{4}$c，∴N（$\frac{3c}{4}$，-$\frac{\sqrt{3}}{4}$c），
把N的坐標(biāo)代入雙曲線方程$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$，整理得9c⁴-28a²c²+16a⁴=0，
∴9e⁴-28e²+16=0，
∵e＞1，∴e²=（$\frac{\sqrt{13}+1}{3}$）²，∴e=$\frac{\sqrt{13}+1}{3}$；
（3）要使直線與雙曲線有兩個交點(diǎn)，需使雙曲線的其中一漸近線方程的斜率小于直線的斜率，即$\frac{a}$＜tan30°=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，∴b＜$\frac{\sqrt{3}}{3}$a
∵$\sqrt{{c}^{2}-{a}^{2}}$＜$\frac{\sqrt{3}}{3}$a，
整理得e＜$\frac{2\sqrt{3}}{3}$
∵雙曲線中e＞1，∴e的范圍是（1，$\frac{2\sqrt{3}}{3}$）；
（4）根據(jù)定義e=$\frac{\sqrt{{a}^{2}+^{2}}}{a}$，
∵e∈[$\sqrt{2}$，2]．
∴$\frac{\sqrt{3}}{3}$b≤a≤b
而漸近線的斜率k=$\frac{a}$，∴1≤k≤$\sqrt{3}$
所以45°≤$\frac{θ}{2}$≤60°
所以 90°≤θ≤120°，即[$\frac{π}{2}$，$\frac{2π}{3}$]．

點(diǎn)評 本題考查由圓錐曲線的方程求焦點(diǎn)、考查雙曲線的三參數(shù)的關(guān)系：c²=a²+b²注意與橢圓的區(qū)別．