Question

9．設(shè)數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，滿足${a_n}+{S_n}=A{n^2}+Bn+C$（A≠0，n∈N^*）．
（1）當(dāng)C=1時，
①設(shè)b_n=a_n-n，若${a_1}=\frac{3}{2}$，${a_2}=\frac{9}{4}$．求實數(shù)A，B的值，并判定數(shù)列{b_n}是否為等比數(shù)列；
②若數(shù)列{a_n}是等差數(shù)列，求$\frac{B-1}{A}$的值；
（2）當(dāng)C=0時，若數(shù)列{a_n}是等差數(shù)列，a₁=1，且?n∈N^*，$λ-\frac{3}{n+1}≤\sum_{i=1}^n{\sqrt{1+\frac{1}{a_i^2}+\frac{1}{{a_{i+1}^2}}}}$，求實數(shù)λ的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）①在遞推式中分別取n=1，2，得到兩個等式，然后代入${a_1}=\frac{3}{2}$，${a_2}=\frac{9}{4}$，得到關(guān)于A，B的二元一次方程，求解A，B的值，把A，B的值代回遞推式，然后取n=n+1得另一遞推式，兩式相減后整理即可得到數(shù)列{a_n-n}是等比數(shù)列，即數(shù)列{b_n}是等比數(shù)列；
②設(shè)出等差數(shù)列{a_n}的通項公式，利用S_n=$\frac{（{a}_{1}+{a}_{n}）n}{2}$寫出其前n項和，代入a_n+S_n=An²+Bn+1后由系數(shù)相等求出A，B，C，則答案可求；
（2）由數(shù)列{a_n}是等差數(shù)列，且C=0求得B=3A，進一步求得A，B的值，得到等差數(shù)列的公差，求出數(shù)列{a_n}的通項公式，代入$\sqrt{1+\frac{1}{{{a}_{n}}^{2}}+\frac{1}{{{a}_{n+1}}^{2}}}$，開方后裂項，求得$\sum_{i=1}^{n}\sqrt{1+\frac{1}{{{a}_{i}}^{2}}+\frac{1}{{{a}_{i+1}}^{2}}}$，在代入$λ-\frac{3}{n+1}≤\sum_{i=1}^n{\sqrt{1+\frac{1}{a_i^2}+\frac{1}{{a_{i+1}^2}}}}$，分離參數(shù)λ后得答案．

解答 解：（1）①由a_n+S_n=An²+Bn+1，
分別令n=1，2代入上式得：$\left\{\begin{array}{l}{2{a}_{1}=A+B+1}\\{2{a}_{2}+{a}_{1}=4A+2B+1}\end{array}\right.$，
又a₁=$\frac{3}{2}$，a₂=$\frac{9}{4}$，解得$\left\{\begin{array}{l}{A=\frac{1}{2}}\\{B=\frac{3}{2}}\end{array}\right.$．
∴a_n+S_n=$\frac{1}{2}$n²+$\frac{3}{2}$n+1，
a_n+1+S_n+1=$\frac{1}{2}$（n+1）²+$\frac{3}{2}$（n+1）+1，
兩式作差得：2a_n+1-a_n=n+2．則a_n+1-（n+1）=$\frac{1}{2}$（a_n-n）．
∵a₁-1=$\frac{1}{2}$≠0，
∴數(shù)列{a_n-n}是首項為$\frac{1}{2}$，公比為$\frac{1}{2}$的等比數(shù)列．
∵b_n=a_n-n，
∴數(shù)列{b_n}是等比數(shù)列；
②∵數(shù)列{a_n}是等差數(shù)列，
∴設(shè)a_n=dn+c．
則S_n=$\frac{（d+c+dn+c）n}{2}$=$\fracvmnbaac{2}$n²+（c+$\fracasr7rq2{2}$）n．
∴a_n+S_n=$\fracv2gy2yv{2}$n²+（c+$\frac{3d}{2}$）n+c．
∴A=$\fracta7lmd7{2}$，B=c+$\frac{3d}{2}$，c=1．
則$\frac{B-1}{A}$=$\frac{\frac{3d}{2}+1-1}{\fracv6amcur{2}}=3$；
（2）數(shù)列{a_n}為等差數(shù)列，
∴a_n+S_n=a₁+（n-1）d+na₁+$\frac{n（n-1）d}{2}$=$\fracdmj2zft{2}{n}^{2}+（{a}_{1}+\fracmko6a6x{2}）n+{a}_{1}-d$═An²+Bn+C，
∴A=$\fraczmh2iql{2}$，B=${a}_{1}+\frach7zuzwt{2}$，C=a₁-d，
∴3A-B+C=$\frac{3d}{2}-（{a}_{1}+\frac2p1bemj{2}）$+（a₁-d）=0，因此3A-B+C=0．
又C=0，{a_n}是首項為1的等差數(shù)列，
∴B=3A，則1+1=A+B=4A，得A=$\frac{1}{2}$，B=$\frac{3}{2}$，
∴d=2A=1，則a_n=n．
∴$\sqrt{1+\frac{1}{{{a}_{n}}^{2}}+\frac{1}{{{a}_{n+1}}^{2}}}$=$\sqrt{1+\frac{1}{{n}^{2}}+\frac{1}{（n+1）^{2}}}$=$\sqrt{\frac{{n}^{2}（n+1）^{2}+（n+1）^{2}+{n}^{2}}{{n}^{2}（n+1）^{2}}}$
=$\frac{n（n+1）+1}{n（n+1）}$=1+$\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$，
∴$\sum_{i=1}^{n}\sqrt{1+\frac{1}{{{a}_{i}}^{2}}+\frac{1}{{{a}_{i+1}}^{2}}}$=$\sum_{i=1}^{n}（1+\frac{1}{i}+\frac{1}{i+1}）$=$n+1-\frac{1}{n+1}$．
若?n∈N^*，$λ-\frac{3}{n+1}≤\sum_{i=1}^n{\sqrt{1+\frac{1}{a_i^2}+\frac{1}{{a_{i+1}^2}}}}$，
則$λ-\frac{3}{n+1}≤n+1-\frac{1}{n+1}$，即$λ＜n+1+\frac{2}{n+1}$．
∵當(dāng)n=1時，$（n+1+\frac{2}{n+1}）_{min}=3$，
∴λ＜3．

點評 本題考查了等比關(guān)系的確定，考查了等差數(shù)列和等比數(shù)列的通項公式，訓(xùn)練了待定系數(shù)法和裂項相消法求和，考查了學(xué)生的計算能力，屬難題．