Question

11．已知四棱錐P-ABCD的底面是矩形．PA⊥AB，PA⊥AC，M，N分別是AB，PC的中點．
（1）證明：BC⊥面PAB；
（2）求證：MN⊥AB．

Answer 1

分析 （1）由PA⊥AB，PA⊥AC，可證PA⊥平面ABC，即可證明PA⊥BC，再證明AB⊥BC，即可證明BC⊥平面PAB．
（2）取DC的中點Q，連接QN，QM，可證AB⊥NQ，AB⊥QM，即證明AB⊥平面NMQ，從而可證明AB⊥MN．

解答 解：（1）∵PA⊥AB，PA⊥AC，AB∩AC=A，
∴PA⊥平面ABC，
∵BC?平面ABC，
∴PA⊥BC，
∵四棱錐P-ABCD的底面是矩形．
∴AB⊥BC，PA∩AB=A，
∴BC⊥平面PAB．
（2）取DC的中點Q，連接QN，QM，
∵M，N分別是AB，PC的中點．
∴QN∥PD，QM∥DA，
∵PA⊥AB，AD⊥AB，PA∩AD=A，
∴AB⊥平面PAD，
∴AB⊥PD，
∴AB⊥NQ，AB⊥QM，
∵NQ∩QM=Q，
∴AB⊥平面NMQ，
∵MN?平面NMQ，
∴AB⊥MN．

點評 本題主要考查了直線與平面垂直的判定，直線與平面垂直的性質(zhì)，考查了空間想象能力和推理論證能力，屬于基本知識的考查．