Question

12．設(shè)x，y滿足約束條件$\left\{\begin{array}{l}{2x-y+2≥0}\\{8x-y-4≤0}\\{x≥0，y≥0}\end{array}\right.$，若目標(biāo)函數(shù)z=ax+by（a＞0，b＞0）的最大值為16，求ab的最大值．

Answer 1

分析 作出不等式對應(yīng)的平面區(qū)域，利用z的幾何意義確定取得最大值的條件，然后利用基本不等式進(jìn)行求則ab的最大值．

解答 解：由z=ax+by（a＞0，b＞0）得y=-$\frac{a}$x+$\frac{z}$，
∵a＞0，b＞0，∴直線的斜率-$\frac{a}$＜0，
作出不等式對應(yīng)的平面區(qū)域如圖：

平移直線得y=-$\frac{a}$x+$\frac{z}$，由圖象可知當(dāng)直線y=-$\frac{a}$x+$\frac{z}$經(jīng)過點(diǎn)A時(shí)，直線y=-$\frac{a}$x+$\frac{z}$的截距最大，此時(shí)z最大．
由 $\left\{\begin{array}{l}{2x-y+2=0}\\{8x-y-4=0}\end{array}\right.$，解得 $\left\{\begin{array}{l}{x=1}\\{y=4}\end{array}\right.$，即A（1，4），
此時(shí)目標(biāo)函數(shù)z=ax+by（a＞0，b＞0）的最大值為16，
即a+4b=16，∴16=a+4b≥2 $\sqrt{4ab}$=4$\sqrt{ab}$，
∴$\sqrt{ab}$≤4，即ab≤16，
當(dāng)且僅當(dāng)a=4b=8，即a=8，b=2時(shí)取等號．
故ab的最大值是16．

點(diǎn)評 本題主要考查線性規(guī)劃的基本應(yīng)用，以及基本不等式的應(yīng)用，利用數(shù)形結(jié)合求出目標(biāo)函數(shù)取得最大值的條件是解決本題的關(guān)鍵．