Question

11．已知等差數(shù)列{a_n}的公差為2，a₅=10，數(shù)列{a_n}前n項(xiàng)和為S_n．
（Ⅰ）求a_n和S_n；
（Ⅱ）若數(shù)列{b_n}滿足${b_n}=\frac{1}{S_n}$，求{b_n}的前n項(xiàng)和T_n．

Answer 1

分析 （I）利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式及其前n項(xiàng)和公式即可得出；
（II）利用“裂項(xiàng)求和”方法即可得出．

解答 解：（Ⅰ）由已知得a₅=a₁+（5-1）×2=10，所以a₁=2，
所以a_n=2+（n-1）×2=2n，${S_n}=2n+\frac{n（n-1）}{2}×2={n^2}+n$，
即a_n=2n，${S_n}={n^2}+n$，（n∈N^*）…（5分）
（Ⅱ）${b_n}=\frac{1}{S_n}=\frac{1}{n（n+1）}=\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$，
所以${T_n}=（1-\frac{1}{2}）+（\frac{1}{2}-\frac{1}{3}）+（\frac{1}{3}-\frac{1}{4}）+…+（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}）=1-\frac{1}{n+1}=\frac{n}{n+1}$．…（10分）

點(diǎn)評 本題考查了等差數(shù)列的通項(xiàng)公式及其前n項(xiàng)和公式、“裂項(xiàng)求和”方法，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．