Question

9．如圖所示，在正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，點E、F分別是棱DD₁、CC₁的中點．
（I）求證：直線B₁F∥平面A₁BE；
（Ⅱ）求直線BE和平面ABB₁A₁所成的角的正弦值．

Answer 1

分析 （I）連接EF，則四邊形EFB₁ A₁為平行四邊形，從而B₁F∥A₁E，由此能證明直線B₁F∥平面A₁BE．
（II）取AA₁的中點M，連接EM，BM，推導出∠EBM即為直線BE與平面ABB₁A₁所成的角，由此能求出直線BE和平面ABB₁A₁所成的角的正弦值．

解答 證明：（I）如圖1，連接EF，由點E、F分別是棱DD₁、CC₁的中點，
則在正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，EF∥C₁D₁，且EF=C₁D₁，A₁B₁∥C₁D₁，且A₁B₁=C₁D₁，
所以EF∥A₁B₁，且EF=A₁B₁，
所以四邊形EFB₁A₁為平行四邊形，所以B₁F∥A₁E，
而A₁E⊆平面A₁BE，B₁F?平面平面A₁BE，
所以直線B₁F∥平面A₁BE．…（5分）
解：（II）如圖2，取AA₁的中點M，連接EM，BM，
因為E是DD₁的中點，四邊形ADD₁A₁為正方形，所以EM∥AD，
又在正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AD⊥平面ABB₁A₁，
所以EM⊥ABB₁A₁，從而BM為直線BE在平面ABB₁A₁上的射影，
所以∠EBM即為直線BE與平面ABB₁A₁所成的角．
設(shè)正方體的棱長為2，則EM=AD=2，BE=$\sqrt{{2}^{2}+{2}^{2}+{1}^{2}}$=3．
于是，在Rt△BEM中，sin∠EBM=$\frac{EM}{BE}$=$\frac{2}{3}$．
即直線BE和平面ABB₁A₁所成的角的正弦值為$\frac{2}{3}$．…（12分）

點評 本題考查線面平行的證明，考查線面角的正弦值的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．