Question

5．如圖所示，在直角坐標系xOy中，點P（1$，\;\frac{1}{2}}$）到拋物線C：y²=2px（p＞0）的準線的距離為$\frac{5}{4}$，點M（t，1）（t＞0）是C上的定點，A、B是C上的兩個動點，且線段AB的中點Q（m，n）在線段OM上．
（1）拋物線C的方程及t的值；
（2）當點A、B分別在第一、四象限時，求k_OA•k_OB的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）求得拋物線的準線方程，由題意可得1+$\frac{p}{2}$=$\frac{5}{4}$，解得p，可得拋物線的方程；代入M的坐標，可得t的值；
（2）求得Q的坐標，設(shè)出直線AB的方程，代入拋物線的方程，消去x，可得y的二次方程，運用韋達定理和中點坐標公式，求得m的范圍，運用直線的斜率公式，化簡整理配方，由二次函數(shù)的值域可得所求范圍．

解答 解：（1）拋物線C：y²=2px（p＞0）的準線是$x=-\frac{p}{2}$，
所以$1+\frac{p}{2}=\frac{5}{4}$，解得$p=\frac{1}{2}$，
所以拋物線C的方程為y²=x．            
又點M（t，1）（t＞0）在曲線上，所以t=1．         
（2）由（1）知，M（1，1），
可得直線OM的方程為y=x，故m=n，
即點Q（m，m）．          
由題意，直線AB的斜率存在且不為0，
設(shè)直線AB的方程為y-m=k（x-m），
由$\left\{\begin{array}{l}y-m=k（x-m）\;\\{y^2}=x\end{array}\right.$消去x，
得ky²-y+m-km=0，設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
則${y_1}+{y_2}=\frac{1}{k}$，${y_1}{y_2}=\frac{m}{k}-m$，
由線段AB的中點為Q，
可得y₁+y₂=2m，所以$k=\frac{1}{2m}$，m＞0，
由${y_1}{y_2}=2{m^2}-m＜0$，得$0＜m＜\frac{1}{2}$，
所以${k_{OA}}•{k_{OB}}=\frac{{{y_1}{y_2}}}{{{x_1}{x_2}}}=\frac{1}{{{y_1}{y_2}}}=\frac{1}{{2{m^2}-m}}=\frac{1}{{2{{（{m-\frac{1}{4}}）}^2}-\frac{1}{8}}}$，
因為$0＜m＜\frac{1}{2}$，所以2m²-m的取值范圍是$[{-\frac{1}{8}\;，\;0}）$，
故k_OA•k_OB的取值范圍是（-∞，-8]．

點評 本題考查拋物線的方程的求法，注意讀懂直線的距離公式，考查直線的斜率的乘積的范圍，注意聯(lián)立直線和拋物線的方程，運用韋達定理，以及中點坐標公式和直線的斜率公式，考查化簡整理的運算能力，屬于中檔題．