Question

3．在等差數(shù)列{a_n}中，前n項(xiàng)和為S_n．
（1）若a₅+a₁₅=20，求S₁₉；
（2）若S₁₀=0，a₁₅=25，求nS_n的最小值．

Answer 1

分析 （1）利用等差數(shù)列性質(zhì)及其前n項(xiàng)和公式即可得出；
（2）利用等差數(shù)列通項(xiàng)公式及其前n項(xiàng)和公式即可得出S_n；再利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性即可得出．

解答 解：（1）∵數(shù)列{a_n}是等差數(shù)列，∴a₅+a₁₅=a₁+a₁₉=20，
∴S₁₉=$\frac{19（{a}_{1}+{a}_{19}）}{2}$=$\frac{19×20}{2}$=190．
（2）設(shè)等差數(shù)列{a_n}的公差為d．
∵S₁₀=0，a₁₅=25，
∴$\left\{\begin{array}{l}{10{a}_{1}+\frac{10×9}{2}d=0}\\{{a}_{1}+14d=25}\end{array}\right.$，
解得a₁=$-\frac{225}{19}$，d=$\frac{50}{19}$．
∴S_n=$-\frac{225}{19}n$+$\frac{n（n-1）}{2}×\frac{50}{19}$=$\frac{25}{19}$（n²-10n），
∴nS_n=$\frac{25}{19}$（n³-10n²），
令f（x）=x³-10x²（x≥1）．
∴f′（x）=3x²-20x=3x$（x-\frac{20}{3}）$，
∴函數(shù)f（x）在$[1，\frac{20}{3}）$上單調(diào)遞減；函數(shù)f（x）在$（\frac{20}{3}，+∞）$上單調(diào)遞增．
f（6）=6³-10×6²=-96，f（7）=7³-10×7²=-147．
∴nS_n的最小值是$\frac{25}{19}$×（-147）=$-\frac{3675}{19}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了等差數(shù)列的性質(zhì)通項(xiàng)公式及其前n項(xiàng)和公式、利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．