Question

10．在直角坐標系xOy中已知曲線C₁：$\left\{\begin{array}{l}{x=t+1}\\{y=1-2t}\end{array}\right.$（t為參數(shù)），與曲線C₂：$\left\{\begin{array}{l}{x=asinθ}\\{y=3cosθ}\end{array}\right.$（θ為參數(shù)，a＞0）．
（1）若曲線C₁與C₂有一公共點在x軸上，求a的值；
（2）若曲線C₁與C₂相交于A，B兩點，且|AB|=$\sqrt{5}$，求a的值．

Answer 1

分析 （1）先把曲線C₁和曲線C₂都化為普通方程，由此能求出結(jié)果．
（2）聯(lián)立曲線C₁和曲線C₂的普通方程，利用弦長公式能求出結(jié)果．

解答 解：（1）∵曲線C₁：$\left\{\begin{array}{l}{x=t+1}\\{y=1-2t}\end{array}\right.$（t為參數(shù)）化為普通方程：2x+y-3=0，令y=0，
可得x=$\frac{3}{2}$，
曲線C₂：$\left\{\begin{array}{l}{x=asinθ}\\{y=3cosθ}\end{array}\right.$（θ為參數(shù)，a＞0）化為普通方程：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{9}$=1
∵兩曲線有一個公共點在x軸上，
∴$\frac{\frac{9}{4}}{{a}^{2}}$=1，解得a=$\frac{3}{2}$．
（2）聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{2x+y-3=0}\\{\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{9}=1}\end{array}\right.$，消去y，得（4a²+9）x²-12a²x=0，
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則${x}_{1}+{x}_{2}=\frac{12{a}^{2}}{4{a}^{2}+9}$，x₁x₂=0，
∵|AB|=$\sqrt{5}$，∴$\sqrt{（1+4）（\frac{12{a}^{2}}{4{a}^{2}+9}）^{2}}$=$\sqrt{5}$，
解得a=$\frac{3\sqrt{2}}{4}$或a=-$\frac{3\sqrt{2}}{4}$（舍）．
∴$a=\frac{3\sqrt{2}}{4}$．

點評 本題考查曲線方程中參數(shù)值的求法，是基礎(chǔ)題，解題時要認真審題，注意參數(shù)方程與普通方程的互化和弦長公式的合理運用．