Question

13．已知命題p：方程$\frac{x^2}{2m}-\frac{y^2}{m-1}=1$表示焦點(diǎn)在y軸上的橢圓，命題q：雙曲線$\frac{y^2}{5}-\frac{x^2}{m}=1$的離心率e∈（1，2），若p，q只有一個(gè)為真，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析 根據(jù)條件先求出命題成立的等價(jià)條件，根據(jù)p，q只有一個(gè)為真，建立不等式關(guān)系即可．

解答 解：若方程$\frac{x^2}{2m}-\frac{y^2}{m-1}=1$表示焦點(diǎn)在y軸上的橢圓，
即$\frac{{x}^{2}}{2m}$+$\frac{{y}^{2}}{1-m}$=1表示焦點(diǎn)在y軸上的橢圓，
則$\left\{\begin{array}{l}{1-m＞0}\\{2m＞0}\\{1-m＞2m}\end{array}\right.$得$\left\{\begin{array}{l}{m＜1}\\{m＞0}\\{m＜\frac{1}{3}}\end{array}\right.$，得0＜m＜$\frac{1}{3}$，即p：0＜m＜$\frac{1}{3}$，
∵雙曲線$\frac{y^2}{5}-\frac{x^2}{m}=1$的離心率e∈（1，2），
∴a²=5，b²=m＞0，c²=5+m，
∵e∈（1，2），
∴e²∈（1，4），
即1＜$\frac{5+m}{5}$＜4，
得0＜m＜15，
即q：0＜m＜15
∵p，q只有一個(gè)為真，
∴若p真q假，則$\left\{\begin{array}{l}{0＜m＜\frac{1}{3}}\\{m≥15或m≤0}\end{array}\right.$，此時(shí)無解
若p假q真，則$\left\{\begin{array}{l}{m≥\frac{1}{3}或m≤0}\\{0＜m＜15}\end{array}\right.$，得$\frac{1}{3}≤m＜15$，
綜上$\frac{1}{3}≤m＜15$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查復(fù)合命題的真假應(yīng)用，求出命題的等價(jià)條件是解決本題的關(guān)鍵．