Question

9．已知中心在原點的雙曲線，其右焦點與圓x²-4x+y²+1=0的圓心重合，且漸近線與該圓相離，則雙曲線離心率的取值范圍是（　�。�

• A． （1，$\frac{2\sqrt{3}}{3}$）
• B． （1，2）
• C． （$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，+∞）
• D． （2，+∞）

Answer 1

分析 雙曲線的漸近線與圓x²+y²-4x+1=0相離?圓心（2，0）到漸近線的距離＞半徑r．解出即可．

解答 解：由圓x²+y²-4x+1=0化為（x-2）²+y²=3，得到圓心（2，0），半徑r=$\sqrt{3}$．
∵雙曲線$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}-\frac{{y}^{2}}{^{2}}=1$（a＞0，b＞0）的漸近線y=±$\frac{a}$x與圓x²+y²-4x+1=0相離，
∴$\frac{|2b|}{\sqrt{{a}^{2}+^{2}}}$＞$\sqrt{3}$，化為b²＞3a²．c²-a²＞3a²，可得e²＞4，∵e＞1
∴e＞2．
∴該雙曲線的離心率的取值范圍是：（2，+∞）．
故選：D．

點評 熟練掌握雙曲線的漸近線方程、離心率的計算公式、圓的標(biāo)準(zhǔn)方程、直線與圓的位置關(guān)系、點到直線的距離公式是解題的關(guān)鍵．