Question

2．命題p：實數x滿足a＜x＜3a，其中a＞0；q：實數x滿足2＜x≤3．
（Ⅰ）若a=1，且p∧q為真，求實數x的取值范圍；
（Ⅱ）若q是p的充分條件，求實數a的取值范圍．

Answer 1

分析 （I）當a=1時，命題p：實數x滿足1＜x＜3；q：實數x滿足2＜x≤3．p∧q為真，可得$\left\{\begin{array}{l}{1＜x＜3}\\{2＜x≤3}\end{array}\right.$，解得x范圍．
（II）由于q是p的充分條件，可得$\left\{\begin{array}{l}{a≤2}\\{3＜3a}\\{a＞0}\end{array}\right.$，解出即可．

解答 解：（I）當a=1時，命題p：實數x滿足1＜x＜3；q：實數x滿足2＜x≤3．
∵p∧q為真，∴$\left\{\begin{array}{l}{1＜x＜3}\\{2＜x≤3}\end{array}\right.$，解得2＜x＜3．
∴實數x的取值范圍為（2，3）．
（II）∵q是p的充分條件，∴$\left\{\begin{array}{l}{a≤2}\\{3＜3a}\\{a＞0}\end{array}\right.$，
解得1＜a≤2．
∴實數a的取值范圍是（1，2]．

點評 本題考查了簡易邏輯的判定方法、不等式的解法、集合的運算，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．