Question

2．已知F₁，F(xiàn)₂為橢圓${C_1}：\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（a＞b＞0）$的左、右焦點(diǎn)，F(xiàn)₂在以$Q（\sqrt{2}，1）$為圓心，1為半徑的圓C₂上，且|QF₁|+|QF₂|=2a．
（Ⅰ）求橢圓C₁的方程；
（Ⅱ）過點(diǎn)P（0，1）的直線l₁交橢圓C₁于A，B兩點(diǎn)，過P與l₁垂直的直線l₂交圓C₂于C，D兩點(diǎn)，M為線段CD中點(diǎn)，求△MAB面積的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）圓C₂的方程為${（x-\sqrt{2}）^2}+{（y-1）^2}=1$，由此圓與x軸相切，求出a，b的值，由此能求出橢圓C₁的方程．
（Ⅱ）設(shè)l₁：x=t（y-1），則l₂：tx+y-1=0，與橢圓聯(lián)立，得（t²+2）y²-2t²y+t²-4=0，由此利用弦長(zhǎng)公式、點(diǎn)到直線距離公式，結(jié)合已知條件能求出△MAB面積的取值范圍．

解答 （本題滿分15分）
解：（Ⅰ）圓C₂的方程為${（x-\sqrt{2}）^2}+{（y-1）^2}=1$，
此圓與x軸相切，切點(diǎn)為$（\sqrt{2}，0）$
∴$c=\sqrt{2}$，即a²-b²=2，且${F_2}（\sqrt{2}，0）$，${F_1}（-\sqrt{2}，0）$…（2分）
又|QF₁|+|QF₂|=3+1=2a．…（4分）
∴a=2，b²=a²-c²=2
∴橢圓C₁的方程為$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{2}=1$．…（6分）
（Ⅱ）當(dāng)l₁平行x軸的時(shí)候，l₂與圓C₂無公共點(diǎn)，從而△MAB不存在；
設(shè)l₁：x=t（y-1），則l₂：tx+y-1=0．
由$\left\{{\begin{array}{l}{\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{2}=1}\\{x=t（y-1）}\end{array}}\right.$，消去x得（t²+2）y²-2t²y+t²-4=0，
則$|AB|=\sqrt{1+{t^2}}|{y_1}-{y_2}|=\frac{{2\sqrt{（1+{t^2}）（2{t^2}+8）}}}{{{t^2}+2}}$．…（8分）
又圓心$Q（\sqrt{2}，1）$到l₂的距離${d_1}=\frac{{|\sqrt{2}t|}}{{\sqrt{1+{t^2}}}}＜1$，得t²＜1．…（10分）
又MP⊥AB，QM⊥CD
∴M到AB的距離即Q到AB的距離，設(shè)為d₂，
即${d_2}=\frac{{|\sqrt{2}-t+t|}}{{\sqrt{1+{t^2}}}}=\frac{{\sqrt{2}}}{{\sqrt{1+{t^2}}}}$．…（12分）
∴△MAB面積$S=\frac{1}{2}|AB|•{d_2}=\frac{{2\sqrt{{t^2}+4}}}{{{t^2}+2}}$
令$u=\sqrt{{t^2}+4}∈[2，\sqrt{5}）$
則$S=f（u）=\frac{2u}{{{u^2}-2}}=\frac{2}{{u-\frac{2}{u}}}∈（\frac{{2\sqrt{5}}}{3}，2]$．
∴△MAB面積的取值范圍為$（\frac{{2\sqrt{5}}}{3}，2]$．…（15分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓方程的求法，考查三角形面積的取值范圍的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意弦長(zhǎng)公式、點(diǎn)到直線距離公式的合理運(yùn)用．