Question

8．對于函數(shù)f（x）=log${\;}_{2}^{2}$x-a•log₂x²，x∈[1，4]，a∈R．
（1）求函數(shù)f（x）的最小值g（a）；
（2）是否存在實數(shù)m、n，同時滿足以下條件：①m＞n≥0；②當函數(shù)g（a）的定義域為[n，m]時，值域為[-m，-n]，若存在，求出所有滿足條件的m、n的值；若不存在，說明理由．

Answer 1

分析 （1）利用換元法求函數(shù)的最值．
（2）根據(jù)二次函數(shù)圖象和性質，結合定義域和值域之間的關系進行討論即可．

解答 （本題滿分為12分）
解：（1）設t=log₂x，
∵x∈[1，4]，
∴t∈[0，2]，
f（x）=t²-2at=（t-a）²-a²，
當t=a，即x=2^a時，f（x）_min=g（a）=-a²．…（6分）
（2）∵m＞n≥0，
∴g（a）=-a²在[0，∞）上為減函數(shù)，…（8分）
又∵g（a）的定義域為[n，m]，值域為[-m，-n]，
∴-n²=-n，-m²=-m，
∴m=n=1，這與m＞n≥0矛盾．故滿足條件的m，n不存在．…（12分）

點評 本題考查了函數(shù)與方程的關系，同時考查了換元法求函數(shù)的最值，要求熟練掌握二次函數(shù)的圖象和性質，屬于中檔題．