Question

18．如圖，在Rt△ABC中，兩條直角邊分別為AB=2$\sqrt{3}$，BC=2，P為△ABC內(nèi)一點(diǎn)，∠BPC=90°，若∠APB=150°，則tan∠PBA=$\frac{\sqrt{3}}{4}$．

Answer 1

分析 由題意設(shè)∠PBA=α，在Rt△PBC中求出PB，在△PBA中，由∠APB=150°和內(nèi)角和定理求出∠PAB，由正弦定理列出方程，由兩角差的正弦函數(shù)化簡后，由商的關(guān)系求出tan∠PBA的值．

解答 解：由題意知：
∠ABC=∠BPC=90°，AB=2$\sqrt{3}$，BC=2
設(shè)∠PBA=α，在Rt△PBC中，
PB=BCcos（90°-α）=2sinα，
在△PBA中，∠APB=150°，則∠PAB=30°-α，
由正弦定理得，$\frac{AB}{sin∠APB}=\frac{PB}{sin∠PAB}$，
則$\frac{2\sqrt{3}}{\frac{1}{2}}=\frac{2sinα}{sin（30°-α）}$，即$\frac{sinα}{sin（30°-α）}=2\sqrt{3}$，
sinα=2$\sqrt{3}$（$\frac{1}{2}$cosα-$\frac{\sqrt{3}}{2}$sinα），
化簡得4sinα=$\sqrt{3}$cosα，則tanα=$\frac{\sqrt{3}}{4}$，
所以tan∠PBA=$\frac{\sqrt{3}}{4}$，
故答案為：$\frac{\sqrt{3}}{4}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查正弦定理，兩角差的正弦函數(shù)，以及商的關(guān)系的應(yīng)用，考查分析問題、解決問題的能力．