Question

5．已知數(shù)列{a_n}、{b_n}的每一項都是正數(shù)，a₁=12，b₁=8且2$\sqrt{_{n}}$=$\sqrt{_{n-1}}$+$\sqrt{_{n+1}}$（n≥2）又b_n，a_n，b_n+1成等比數(shù)列一切n∈N^*恒成立
（1）求數(shù)列{a_n}、{b_n}的通項公式；
（2）設(shè)C_n=2^n-1-（a_n-b_n），若c_n的前n項和為S_n，不等式S_n＞nλb_n對一切n∈N^*恒成立，求實(shí)數(shù)λ的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）運(yùn)用等比數(shù)列的中項性質(zhì)和等差數(shù)列的定義及通項公式，化簡整理計算即可得到所求通項；
（2）求得C_n=2^n-1-（a_n-b_n）=2^n-1-2（n+1），運(yùn)用數(shù)列的求和方法：分組求和，可得S_n=$\frac{1-{2}^{n}}{1-2}$-n（n+3）=2ⁿ-n²-3n-1．再由參數(shù)分離和構(gòu)造法，求得最小值，即可得到所求范圍．

解答 解：（1）由b_n，a_n，b_n+1成等比數(shù)列，可得
b_nb_n+1=a_n²，由a₁=12，b₁=8，可得b₂=$\frac{1{2}^{2}}{8}$=18，
由2$\sqrt{_{n}}$=$\sqrt{_{n-1}}$+$\sqrt{_{n+1}}$（n≥2）可得，
$\sqrt{_{n+1}}$-$\sqrt{_{n}}$=$\sqrt{_{n}}$-$\sqrt{_{n-1}}$=…=$\sqrt{_{2}}$-$\sqrt{_{1}}$=3$\sqrt{2}$-2$\sqrt{2}$=$\sqrt{2}$，
即有$\sqrt{_{n}}$=$\sqrt{_{1}}$+$\sqrt{2}$（n-1）=$\sqrt{2}$（n+1），
可得b_n=2（n+1）²；
則a_n²=b_nb_n+1=2（n+1）²•2（n+2）²，
可得a_n=2（n+1）（n+2）；
（2）C_n=2^n-1-（a_n-b_n）=2^n-1-2（n+1），
c_n的前n項和為S_n=$\frac{1-{2}^{n}}{1-2}$-n（n+3）=2ⁿ-n²-3n-1．
不等式S_n＞nλb_n對一切n∈N^*恒成立，
即為λ＜$\frac{{2}^{n}-{n}^{2}-3n-1}{2n（n+1）^{2}}$的最小值，
由n=1，2，3，4，5時，2ⁿ-n²-3n-1＜0，
n≥6時，2ⁿ-n²-3n-1＞0，
可得n=1時，$\frac{{2}^{n}-{n}^{2}-3n-1}{2n（n+1）^{2}}$取得最小值為-$\frac{3}{8}$，
則實(shí)數(shù)λ的取值范圍為（-∞，-$\frac{3}{8}$）．

點(diǎn)評 本題考查數(shù)列的通項公式的求法，注意運(yùn)用等差數(shù)列的通項公式和等比數(shù)列的中項性質(zhì)，同時考查不等式恒成立問題的解法，注意運(yùn)用參數(shù)分離和數(shù)列的大小，屬于中檔題．