Question

16．對a，b∈R，記max{a，b}=$\left\{\begin{array}{l}{a，a≥b}\\{b，a＞b}\end{array}\right.$，則函數(shù)f（x）=max{|x+1|，x+2}（x∈R）的最小值是$\frac{1}{2}$．

Answer 1

分析 討論當(dāng)|x+1|≥x+2，|x+1|＜x+2時，求出f（x）的解析式，由單調(diào)性可得最小值．

解答 解：當(dāng)|x+1|≥x+2，即x+1≥x+2或x+1≤-x-2，
解得x≤-$\frac{3}{2}$時，f（x）=|x+1|，遞減，
則f（x）的最小值為f（-$\frac{3}{2}$）=|-$\frac{3}{2}$+1|=$\frac{1}{2}$；
當(dāng)|x+1|＜x+2，可得x＞-$\frac{3}{2}$時，f（x）=x+2，遞增，
即有f（x）＞$\frac{1}{2}$，
綜上可得f（x）的最小值為$\frac{1}{2}$．
故答案為：$\frac{1}{2}$．

點評 本題考查函數(shù)的最值的求法，考查絕對值不等式的解法，注意運用分類討論的思想方法，以及函數(shù)的單調(diào)性，屬于中檔題．