Question

14．已知雙曲線方程為$\frac{{x}^{2}}{4}$-y²=1，雙曲線上一點P（a，b）（b≠0）到直線y=x的距離是$\sqrt{2}$，求|a+b|的值．

Answer 1

分析 由點到直線的距離得a-b=2或a-b=-2，把P（a，b）代入雙曲線方程，求出a，b，即可求出|a+b|的值．

解答 解：∵雙曲線$\frac{{x}^{2}}{4}$-y²=1上一點P（a，b）到直線y=x的距離為$\sqrt{2}$，
∴由點到直線的距離得a-b=2或a-b=-2，
把P（a，b）代入雙曲線方程，得$\frac{{a}^{2}}{4}$-b²=1，
（a+2b）（a-2b）=4，
當(dāng)a-b=2時，上式化為：（3b+2）（2-b）=4，b≠0解得b=$\frac{4}{3}$，|a+b|=|2b+2|=$\frac{11}{3}$．
當(dāng)a-b=-2時，上式化為：（3b-2）（-2-b）=4，解得b=$±2\sqrt{2}$．
|a+b|=|2b-2|=4$\sqrt{2}±2$．

點評 本題考查雙曲線的簡單性質(zhì)的應(yīng)用，是中檔題，解題時要注意點到直線的距離公式的應(yīng)用．