Question

10．已知集合A={x|x²+3x+2≤0}，B={x|x²+ax+b≤0}．
（Ⅰ）若（∁_RA）∩B={x|-1＜x≤2}，（∁_RA）∪B=R，求a，b的值；
（Ⅱ）若b=1，且A∪B=A，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根據(jù)集合A，求得集合A，由（∁_RA）∩B={x|-1＜x≤2}，（∁_RA）∪B=R，求出集合B，根據(jù)不等式的解集與方程根之間的關(guān)系，利用韋達(dá)定理即可求得a，b的值，從而求得結(jié)果；
（Ⅱ）由A∪B=A，得到B⊆A，分類討論即可得到a的取值范圍．

解答 解：（Ⅰ）∵A={x|x²+3x+2≤0}=[-2，-1]，
∴（∁_RA）=（-∞，-2）∪（-1，+∞），
∵（∁_RA）∩B={x|-1＜x≤2}=（-1，2]，（∁_RA）∪B=R，
∴B=[-2，2]，
∴-2+2=a，-2×2=b，
∴a=0，b=-4；
（Ⅱ）當(dāng)b=1時(shí)，設(shè)f（x）=x²+ax+1，
∵A∪B=A，
∴B⊆A，
當(dāng)B=∅時(shí)，由△=a²-4＜0，解得-2＜a＜2，
當(dāng)B≠∅時(shí)，由△=a²-4=0，解得a=-2，或a=2，
當(dāng)a=-2時(shí)，B={1}不合題意，
當(dāng)a=2時(shí)，B={-1}符合題意，
若△=a²-4＞0，則$\left\{\begin{array}{l}{△＞0}\\{f（-1）≥0}\\{f（-2）≥0}\\{-2≤-\frac{a}{2}≤-1}\end{array}\right.$，無解，
綜上，所求實(shí)數(shù)a的范圍為（-2，2]．

點(diǎn)評 本題考查了集合的混合運(yùn)算，對于一元二次不等式的求解，根據(jù)已知A∪B和A∩B的范圍，求出集合B是解題的關(guān)鍵，屬中檔題