Question

3．已知函數(shù)f（x）=cosωx-sinωx（ω＞0）在（-$\frac{π}{2}$，$\frac{π}{2}$）上單調(diào)遞減，則ω的取值不可能為（　�。�

• A． $\frac{1}{5}$
• B． $\frac{1}{4}$
• C． $\frac{1}{2}$
• D． $\frac{3}{4}$

Answer 1

分析 利用兩角和的余弦公式化簡(jiǎn)函數(shù)的解析式，再利用余弦函數(shù)的單調(diào)性求得f（x）的減區(qū)間，結(jié)合條件可得，-$\frac{π}{4ω}$≤-$\frac{π}{2}$，且 $\frac{3π}{4ω}$≥$\frac{π}{2}$，由此求得ω的范圍，從而得出結(jié)論．

解答 解：∵函數(shù)f（x）=cosωx-sinωx=$\sqrt{2}$cos（ωx+$\frac{π}{4}$）（ω＞0）在（-$\frac{π}{2}$，$\frac{π}{2}$）上單調(diào)遞減，
∴2kπ≤ωx+$\frac{π}{4}$＜≤2kπ+π，求得-$\frac{π}{4ω}$+$\frac{2kπ}{ω}$≤x≤$\frac{3π}{4ω}$+$\frac{2kπ}{ω}$ （k∈Z）．
∵f（x）在（-$\frac{π}{2}$，$\frac{π}{2}$）上單調(diào)遞減，∴-$\frac{π}{4ω}$≤-$\frac{π}{2}$，且 $\frac{3π}{4ω}$≥$\frac{π}{2}$，
求得 0＜ω≤$\frac{1}{2}$，
故選：D．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查兩角和的余弦公式，余弦函數(shù)的單調(diào)性，屬于基礎(chǔ)題．