Question

13．下面是關(guān)于公差d＞0的等差數(shù)列{a_n}的四個(gè)命題：
（1）數(shù)列{a_n}是遞增數(shù)列；
（2）數(shù)列{na_n}是遞增數(shù)列；
（3）數(shù)列$\left\{{\frac{a_n}{n}}\right\}$是遞減數(shù)列；
（4）數(shù)列{a_n+3nd}是遞增數(shù)列．
其中的真命題的個(gè)數(shù)為（　�。�

• A． 0
• B． 1
• C． 2
• D． 3

Answer 1

分析 由題意寫出等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，根據(jù)d＞0說(shuō)明（1）正確，然后逐一寫出（2）、（3）、（4）所對(duì)應(yīng)的函數(shù)式，再利用函數(shù)的單調(diào)性加以判斷．

解答 解：設(shè)等差數(shù)列的首項(xiàng)為a₁，公差d＞0，則a_n=a₁+（n-1）d=dn+a₁-d，
∴數(shù)列{a_n}是遞增數(shù)列，故（1）正確；
$n{a}_{n}=d{n}^{2}+（{a}_{1}-d）n$，當(dāng)n$＜\frac{d-{a}_{1}}{2d}$時(shí)，數(shù)列{na_n}不是遞增數(shù)列，故（2）錯(cuò)誤；
$\frac{{a}_{n}}{n}=d+\frac{{a}_{1}-d}{n}$，當(dāng)a₁-d≤0時(shí)，數(shù)列$\left\{{\frac{a_n}{n}}\right\}$不是遞減數(shù)列，故（3）錯(cuò)誤；
a_n+3nd=4nd+a₁-d，數(shù)列{a_n+3nd}是遞增數(shù)列，故（4）正確．
∴真命題個(gè)數(shù)有2個(gè)．
故選：C．

點(diǎn)評(píng) 本題考查等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，考查了命題的真假判斷與應(yīng)用，考查數(shù)列的函數(shù)特性，是中檔題．